二 用数学归纳法证明不等式优质课教案整理

用数学归纳的证明不等式举例

鸡西市第一中学 金琳

本节内容选自《普通高中新课程标准实验版选修4-5》第四章第二节，其课程目标是想通过对本节的学习，使学生学会用数学归纳法法证明不等式，从中体会放缩、分析等方法，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。数学归纳法的证明过程中展现的推理与逻辑能让学生体会数学的严谨与规范，学习数学归纳法后学生对数列和不等式证明等问题会有新的解决思路和方法。

一、

教学目标

1.牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程. 2.通过示例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法. 3.培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力. 二、

教学重点

1.巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧. 三、教学过程

(一)情境引入

问题1：同学A的身高高于同学B，同学A的身高高于同学C，同学A的身高高于同学D，同学A的身高高于同学E，同学A的身高是班级最高的？

问题2：如何证明含有正整数n的不等式？

问题3：数学归纳法概念？

【设计意图】通过设置问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望，从而很自然地进入本节课的学习。

（二）概念形成

教师：多米诺骨牌游戏的动画对我们解决问题有什么启示？ 【设计意图】通过类比多米诺骨牌游戏

，使学生进一步理解数学归纳法，并培养在观察，归纳，猜想中逐步结局问题的能力。

（三）典例分析

an,a1,an1(an1)21.证明：an2n1(nN*)

例题1：对于数列分析：（1）当n1时，

a12111命题成立；

（2）假设当nk(kN*)时，命题成立，即ak2k1

当nk1时，ak1(ak1)21(2k11)2122k12k11

即当nk1时，命题成立. 由（1）（2）知，an2n1(nN*)成立。

【设计意图】使学生初步了解数学归纳法，理解数学归纳法基本原理的同时，掌握数学归纳法证明的步骤和适用范围，能够使用数学归纳法证明与正整数有关的命题。

例题2：观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论. {ann2}:1,4,9,16,25,36,49,64,81{bn2n}:2,4,8,16,32,64,128,256,512

分析：求证：当n5时，

2nn2(nN*)命题成立

（1）当n5时，

25n5(nN*)命题成立；

（2）假设当nk(kN*,k5)时，命题成立，即2nn2

当nk1时，

左边=2k!2k2k222k2,右边=(k1)2

2k2(k1)2k2(k22k1)k22k1(k1)224220 2k2(k1)2

即当nk1时，命题成立. 由（1）（2）知，当n5时，

2nn2(nN*)命题成立

【设计意图】让学生明确用上归纳假设后要证明的不等式应该是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明.有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式后再用数学归纳法证明. （四）练习巩固

练习1：（2014安徽卷）

n证明：x是实数，且x1,x0,n为大于1的自然数，那么有(1x)1nx. 2的一切正整数n

练习2：证明：对于大于1112123n下列不等式都成立1nn1. n23111a练习3：若不等对于一切正整数n都成立，

n1n23n124求正整数a的最大值，并证明结论. 练习4（2017浙江卷）

，xnxn1ln(1xn1)(nN*)

已知数列{xn}满足: x11*0xn1xn.

证明：当nN时，【设计意图】课堂练习及高考题的选取是让学生尝试自主解决,以达到巩固概念，强化应用的目的。

（五）归纳小结：

在用数学归纳法不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从nk到nk1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当nk1时的递推目标，有目标地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（六）作业布置

《数学归纳的证明不等式举例》学案