1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教学设计

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

厦门市启悟中学

徐彩凤

一、教学内容解析

本节课是人教A版高中数学（选修）1—2第一章第二节第一课时的内容．是在学生学习了高中数学（必修）3的概率、统计基础上的进一步学习.此外，学生在此之前还学习了反证法和事件的相互独立性.本节课借助典型案例向学生介绍了一种判断两个分类变量是否有关系的方法，即独立性检验.它是高中数学知识中体现统计思想的重要章节. 本节课的教学重点是理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤.本节课通过对典型案例的研究，使学生理解独立性检验的基本思想、基本步骤，并会初步应用独立性检验解决实际问题.独立性检验的基本思想是在假设结论不成立的前提下，推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的.因为小概率事件在一次实验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件在一次实验中的发生为否定假设提供了有力的证据.

通过本节课的学习，不仅可以使学生认识到统计方法在决策中的作用，还可以使学生认识到统计学知识是我们现代人应具备的基本数学素养.对提升学生的数据分析、数学建模素养，起到一个至关重要的作用. 二、教学目标设置

1．目标

（1）结合典型案例给出分类变量及2×2列联表的概念，而后引导学生根据列联表数据对案例进行分析；用excel软件制作出等高条形图，并引导学生根据等高条形图来对案例进行分析，初步提高学生获取信息的能力. （2）通过数据和图形分析，得出的直观判断是“吸烟与患肺癌有关”.从特殊到一般，建立数学模型.使学生带着问题，对数据进行分析、处理，最后获得结论，从而提高学生分析、处理数据的能力. （3）通过本节课的学习，使学生发现数学和现实生活的联系.初步了解从科学的角度对两个分类变量之间是否有关系以及有关系的可信度作出判断.培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习过程中与同学、老师的合作交流，使学生在学习知识的同时提高与他人合作的能力. 2．目标分析

独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法.通过本节课的学习使学生理解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本步骤，并会初步应用独立性检验解决实际问题. 三、学生学情分析

1.独立性检验作为检验两个分类变量是否有关系的统计学方法，是全新的知识.学生可能会产生这样的疑问：“为什么要学习这个方法？”而典型案例的引入可以让学生消除疑问，体会本节课知识的应用性. 2.学生可能对于随机变量K的引入及其构造产生困惑，这里可以告诉学生，这个公式的构造用到了许多统计学的知识，现在我们可以先记住结果，有兴趣的同学可以在今后进行进一步的学习. 3.本节课的难点是对独立性检验基本思想的理解.学生思维活跃，有较强的自主探究，合作交流的能力.因此，我通过问题串引导学生进行讨论交流，使学生在讨论交流中进行思维碰撞，而后师生共同总结，以此来突破难点.

1

2

四、教学策略分析

本节课有着丰富的实际生活背景，所以教法上本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，素养提升为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对两个分类变量的关系有了一定的感性认识；通过问题探究的逐层深入，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；把学生自身作为样本进行问题的探究，激发学生兴趣、能够积极思考，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，把传授知识与培养能力融为了一体。主要思路为：通过“吸烟与患肺癌”是否有关系引出独立性检验的问题，并从三个层面对问题进行了探究，一、通过对抽样得到的表格数据粗略估计；二、通过图表直观判断；三、通过“更可靠”的统计分析——独立性检验.前两个层面，学生可以独立完成，但第三个层次依学生目前的知识储备，很难独立完成探究，因此采用了先独立精读教材，总结出个人的“收获”和“困惑”，再小组交流，分享“所得”互相“解惑”，再选代表谈通过精读、讨论，自己的最终收获有哪些？还有哪些“困惑”没有得到解答？最后通过老师的讲解以及跨组的解疑，突破本节的教学重、难点.突破难点的关键是抓住实例，使学生从感性认识升华到理性认识.从定性判断上升到定量判断. 遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：

问题导入，激发兴趣→初步探索，展示内涵→循序渐进，探求新知→应用感悟，思想升华→归纳总结，素养提升→作业布置，巩固新知

五、教学过程

（一）问题导入，激发兴趣

有人说：“吸烟有害健康！”，而另一些人却认为吸烟不影响健康.理由是：有的吸烟老人却很长寿。这两种观点哪个正确呢？引入一组调查数据：

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 设计意图：通过两种对立的观点制造认识上的冲突和矛盾，使数学生活化、趣味化，从而激发学生的学习兴趣，同时增强学生数学核心素养中“用数学的眼光观察现实世界”的意识。

问题1、如何用数学知识来说明吸烟与患肺癌有关呢？

（二）初步探索，展示内涵

1.由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为 。

2.因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

100% 99% 98% 97% 96% 不吸烟

患肺癌

不患肺癌

吸烟

2

设计意图:

①利用电子表格做出等高条形图，从具体的操作入手，有利于学生理解等高条形图的概念；

②增强了学生数学核心素养中用数据表达现实问题的意识。

能否用更严谨的方法判断吸烟与患肺癌有关？

（三）循序渐进，探求新知

3.1案例分析

（1）在假设“H0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的前提下，探究a,b,c,d之间的关系．

设计意图：学生进行自主探究，得出H0成立时adbc．提高学生分析解决问题的能力. （2）提出问题：ad-bc越

（大、小），两个分类变量之间关系越

（强、弱

）. 2设计意图：考查学生对上述结论的理解程度，且为随机变量K的引入奠定基础．

3.2合作探究

请同学们精读教材P11到P12，小组合作回答以下四个问题:

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)的大小能说明什么？

问题2.随机变量2预设：若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。

设计意图：通过这个问题，使学生理解K的意义. 2P(K6.635)0.01的含义是什么？

问题3.22预设：在H0成立的情况下，K的观测值超过6.635的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

设计意图：通过这个问题，使学生理解小概率事件的含义.

2问题4.结合K的观测值k56.632，以k06.635为例，判断H0是否成立，并对你的判2断结果做出必要的说明. 2预设：K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

设计意图：通过这个问题，使学生了解借助随机变量K的观测值建立的一个判断H0是2否成立的规则，也为接下来学生总结独立性检验的基本思想做铺垫. 问题5.请简要概括“吸烟与犯肺癌有关”的数学思路. 设计意图：让学生再次经历统计分析的过程，也为接下来学生总结独立性检验的基本步骤做铺垫. 预设：以吸烟与犯肺癌为例总结过程. [本部分设计意图说明]独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意3

识。

3.3总结提升

（1）独立性检验的基本思想：

①假设“H0：两分类变量没有关系”成立．

②在假设H0成立的情况下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该判断犯错误的概率不超过这个小概率. （2）独立性检验的基本步骤：

①根据实际问题需要确定容许推断“两分类变量有关系”犯错误概率的上界，查表1-11，确定临界值k0. ②计算出K的观测值k．

2③若kk0,就判断“两分类变量有关系”，且该判断犯错误的概率不超过；否则,就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“两分类变量有关系”. 设计意图：使学生通过思考、交流，总结出独立性检验的基本思想及基本步骤．加深学生对独立性检验基本思想的理解，同时明确独立性检验的基本步骤. 问题6：在吸烟和患肺癌的例子中，请根据卡方的值，并结合临界值表，说说你得到了什么结论和启发？

预设：我们有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关联。因此，为了健康你、我、他，我们要拒绝吸烟、劝诫他人不要吸烟！

设计意图：从得到的吸烟与患肺癌有关，犯错误的概率不超过0.001的结论，对学生进行崇尚健康远离烟草的教育.

（四）应用感悟，思想升华

1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（ ）

2A.若K6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病。

B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病。

C.若从统计数据中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误。

D.以上三种说法都不对。

设计意图：通过此题来考察学生是否对独立性检验的基本思想理解到位。

2、课堂活动：请根据你的实际情况，利用智慧课堂平台做出真实的选择，回答有多大把握认为性别与喜欢足球有关联。

选项1.男生、喜欢足球 选项2.男生、不喜欢足球

选项3.女生、喜欢足球 选项4.女生、不喜欢足球

设计意图：通过智慧课堂平台现场收集数据，并利用本节课所学的知识解决问题，让学生参与在数据收集、数据处理、数据分析的整个过程当中，进一步培养学生的数据分析能力4

并体会独立性检验的思想。同时让学生信息技术平台的强大功能，从而培养热爱数学、热爱信息技术、热爱科学的情操。

问题7：这组数据采集于我们班这个小范围内，为了使得结论更客观、更可靠，我们应该做何改进？

设计意图：理解统计的意义. （五）课堂检测，检测新知

对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

学习积极性高

学习积极性一般

合计

积极参加班级工作

18 6 24 不太主动参加班级工作

7 19 26 合计

25 25 50 （1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？

（2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？

设计意图：让学生们及时巩固所学，并自我检测对本节知识的理解掌握程度．

（六）归纳总结，素养提升

通过本节课的学习，谈谈你的收获. 知识：2×2列联表、等高条形图、独立性检验. 能力：提取信息、建立模型、数据分析、逻辑推理、合作交流、解决实际问题等. 设计意图：通过课堂小结，不但可以使学生巩固重点知识，而且可以使学生发展数据分析和数学建模等核心素养. （七）作业布置，巩固新知

1、校本作业

2、思考题：思考反证法原理与独立性检验原理的区别与联系。 3、调查本校高二年学生，判断性别与喜欢数学之间是否有关？

设计意图：为更好的巩固本节所学，给同学们留有两项作业，作业一就是独立性检验的直接应用；作业二是课堂上难点的在突破；作业三是增强学生的数据收集、整理、统计、分析等能力.既巩固了本节所学，又为同学们留出自由发展的空间，将探究的空间从课堂延伸到课外.

【板书设计】

1.2独立性检验的思想及其初步应用

一、分类变量与列联表

二、独立性检验的思想

1、思想

2、步骤

（1）写出2×2列联表；

2（2）利用公式计算K的观测值k；

（3）查临界值表，比较k与k0的大小得出结论。

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