1.不等式的基本性质优秀教学实录

一

不等式

1．不等式的基本性质

1.理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小．

2.能运用不等式的性质进行判断和简单证明．

1．两个实数大小的比较

(1)a＞b⇔a－b＞0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a＜b⇔a－b＜0. 2．不等式的基本性质

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b⇔b＜a．

(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c．

(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. (4)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. (5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．

(6)如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．

3．作差比较法

(1)理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b. (2)方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则a－c＜b－c.(

) (2)若ac＜bc，则a＜b.(

) (3)若a＞b，则an＞bn.(

) 11(4)若a＜b＜0，则＞.(

) ab(5)若ac＜bc，且c＞0，则a＜b.(

) ab(6)若a＞b，则＞.(

) cc11(7)若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.(

) ab答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×

(7)√

2．已知M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为(

) A．M＜N

B．M＞N

C．M＝N

D．M≥N

解析：选A.因为M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1＜0，所以M＜N.故选A.

3．与a>b等价的不等式是(

) A．|a|>|b|

B．a2>b2

aC．>1

D．a3>b3

ba解析：选D.当b

b

由f(x)＝x3在R上单调递增及a>b可知f(a)>f(b)，即a3>b3.

所以a3>b3与a>b等价．

4．若a∈R，则a2＋3与2a的大小关系是________．

解析：因为a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，

所以a2＋3>2a.

答案：a2＋3>2a

比较大小[学生用书P1]

已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

【解】

x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)

＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)

123＝(x－1)x－2＋.

4因为x>1，所以x－1>0.

123又因为x－2＋>0，

4123所以(x－1)x－2＋>0.

4所以x3－1>2x2－2x.

作差比较法的四个步骤

1.已知a，b∈R，x＝a－b，y＝ab－a，试比较x与y的大小．

解：x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)．

当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；

当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；

当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.

y2＋1y2．若A＝，B＝，其中x>y>0，试比较A与B的大小．

2xx＋1y2＋1y222解：因为A－B＝2－2

x＋1xx2（y2＋1）－y2（x2＋1）＝

x2（x2＋1）x2－y2（x－y）（x＋y）＝22＝，

x（x＋1）x2（x2＋1）因为x>y>0，

所以x－y>0，x＋y>0，x2>0，x2＋1>1.

（x－y）（x＋y）所以>0.

x2（x2＋1）所以A2>B2，

又A>0，B>0，

32

所以A>B.

不等式基本性质的简单应用[学生用书P2]

对于实数a，b，c，有下列命题：

①若a>b，则ac

②若ac2>bc2，则a>b；

③若aab>b2. 其中真命题的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 【解析】

①假，未知c是正数、负数还是零，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题；

②真，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，

所以a>b，故该命题是真命题；

aab，⇒ab>b2，

③真，a<0b<022所以a>ab>b.故该命题为真命题．

【答案】

C

(1)在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，恰当地选取使用不等式的性质．否定命题的结论，有时往往举反例．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

(2)运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件；要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽或加强后，结论是否发生了变化．

1.若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(

) A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＜b，则a＋c＜b＋c

C．若a＜b，则ac＜bc

11D．若a＜b，则＞

ab解析：选B.对于A，当c＝0时不成立；

对于B，根据不等式的性质，若a＜b，则a＋c＜b＋c，故成立；

对于C，当c≤0时不成立；

对于D，当a＝－1，b＝1时不成立，

故选B.

2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) abA．＞

dcabB．<

dcabC．＞

cdabD．＜

cd11解析：选B.因为c＜d＜0，所以＜＜0，

dc11所以－＞－＞0，

dc而a＞b＞0，

ab所以－＞－＞0，

dc

ab所以＜，故选B. dc

利用不等式的性质证明不等式[学生用书P3]

若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. ee求证：(1)＞；

a－cb－dee(2). 2＞（a－c）（b－d）2【证明】

因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.

因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.(*)

11(1)由(*)式知＜，又e＜0，

a－cb－dee所以＞.

a－cb－d(2)由(*)式知(a－c)2＞(b－d)2＞0，

11所以，又e＜0，

2＞（b－d）（a－c）2ee所以，

2＜（b－d）（a－c）2ee即. 2＞（a－c）（b－d）2

利用不等式性质证明不等式的技巧

进行简单不等式的证明时，如果不能直接应用不等式的性质得到，我们可以先分析需要证明的不等式的结构特点，利用不等式的性质进行逆推，寻找其成立的充分条件．

a＋ccac

1.已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且＞，求证：＞. bdb＋ddac证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，d＞0且＞，所以ad＞bc，所以ad＋cd＞bc＋cd，即bdd(a＋c)＞c(b＋d)，

a＋cc所以＞. b＋dd2．已知a>b>0，c

所以－c>－d>0.

11所以0<－<－，

cd又a>b>0，

ab所以－>－>0.

dc所以

即－333a da>－d33－b，

cb.

c3两边同乘以－1，得a

利用不等式的性质求代数式的取值范围[学生用书P3]

α－βππ

(1)已知：－≤α<β≤，求的范围；

222(2)已知：－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．

ππ【解】

(1)因为－≤α<β≤，

22παππβπ所以－≤＜，－＜≤，

424424πβππα－βπ所以－≤－＜，所以－≤＜，

424222πα－β又因为α＜β，所以－≤＜0.

22(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)

＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b.

52解得λ1＝，λ2＝－.

3355522又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－.

3333311所以－≤a＋3b≤1. 3

求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．

1.若－1

解析：因为－2

所以0≤|b|<2.

所以－2<－|b|≤0，

又－1

所以－3

答案：(－3，2) x2．已知－1

y解：因为－1

所以0

又－2<－y<－1，

所以－3

11又<<1，

2yx当0≤x<3时，0≤<3；

y－xx当－1

yyx综上所述，－1<<3.

yx所以0

(1)不等式的基本性质均可进行严格的证明，其中证明对称性的依据是a>b⇔a－b>0；a

(2)在不等式的基本性质中，对称性和可加性具有双向性，左右两边可互相推出，其余的只能从左边推出右边，运用时要特别注意．

(3)性质(3)(可加性)的作用：①它是移项法则的依据；②它是加法法则的依据；③用它也可以推导减法法则．即a>b，cb－d；

(4)性质(5)(可乘性)的作用：①它是乘法法则的依据；②用它可推导除法法则，即a>b>0，ab110；③用它也可推导倒数法则，即a>b>0⇒<. cdab(5)不等式性质的等价形式及应用：①传递性：aa>b，0>c>d⇒ac

3．注意不等式成立的前提条件

不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．如传递性是有条件的，可乘性中c的正负，乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N，且n≥2”都需要注意．

1．已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是(

) A．P在Q的左边

B．P在Q的右边

C．P，Q两点重合

D．不能确定

解析：选B.因为x＜y＜0，

所以|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．

2．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值(

) A．大于0

B．等于0 C．小于0

D．符号不能确定

解析：选A.因为a<0，ay>0，所以y<0，所以－2y>0.

因为x＋y>0，所以(x＋y)＋(－2y)>0，所以x－y>0. a3．设－2

b解析：因为1

11所以<<1，

2ba所以当0≤a<7时，0≤<7，

ba当－2

ba综上可得－2<<7.

b答案：(－2，7) 4．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，

所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b. ,

[学生用书P4]) [A

基础达标] 11．当a≠0时，“a>1”是“<1”的(

) aA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1解析：选A.当a>1时，<1成立．

aa－11当<1时，>0，

aa所以a<0或a>1.故必要性不成立．

2．若a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式成立的是(

) 11A．＞

B．a2＜b2

abC．a2b＜ab2

D．(a－1)3＜(b－1)3

11解析：选D.对于选项A，如a＝－3，b＝1时，＞显然不成立，故不正确；

ab对于选项B，如a＝－3，b＝－1，显然a2＜b2不成立，故不正确；

对于选项C，如a＝－3，b＝1时，显然a2b＜ab2不成立，故不正确；

对于选项D，因为a＜b，所以a－1＜b－1，因为函数y＝x3在定义域R上是增函数，故(a－1)3＜(b－1)3成立，故选D.

3．已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是(

) A．ac＞bc

B．ac2＞bc2

C．b(a－b)＞c(a－b)

D．|ac|＞|bc| 解析：选C.a＞b＞c⇒a－b＞0⇒(a－b)b＞(a－b)c.

4．若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则(

) A．ab>bc

B．ac>bc

C．ab>ac

D．a|b|>c|b| 解析：选C.若a≤0，因为a>b>c，所以a＋b＋c<0与a＋b＋c＝0矛盾，所以a>0.又b>c，所以ab>ac.

5．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(

) A．a2＜ab

B．－ab＜－b2

11baC．＜

D．＞

abab解析：选B.对于A，由a＜b＜0，得a2＞ab，故A错误；

对于B，若a＜b＜0，则－a＞－b＞0，b＜0，所以－ab＜－b2，故B正确；

1111对于C，由a＜b＜0，两边同除以ab得＜，即＞，故C错误；

baabba对于D，0＜＜1，＞1，故D错误；故选B.

ab6．已知ad，则a＋d与b＋c的大小关系是a＋d________b＋c. 解析：aa，又c>d，所以b＋c>a＋d，

即a＋d

答案：< 17．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．

a1（a＋1）（a－1）解析：因为a－＝＜0，

aa1所以a＜.

a2又a－a＝a(1－a)＞0，

1所以a＞a2.所以a2＜a＜.

a1答案：a2＜a＜

a

8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．

解析：x－y＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)

＝(ab－1)2＋(a＋2)2.

由x＞y得条件是ab≠1或a≠－2.

答案：ab≠1或a≠－2 m3n39．已知m，n是正数，证明：＋≥m2＋n2. nm33n3－m3（m3－n3）（m－n）m3n322m－n证明：因为＋－m－n＝＋＝

nmnmmn（m－n）2（m2＋mn＋n2）＝.

mn又m，n均为正实数，

（m－n）2（m2＋mn＋n2）所以≥0，

mnm3n3所以＋≥m2＋n2.

nma10．设24＜a≤25，5＜b≤12，求a＋b，a－b，ab，的取值范围．

b解：由24＜a≤25，5＜b≤12，得29＜a＋b≤37，120＜ab≤300.

由24＜a≤25，－12≤－b＜－5，得12＜a－b＜20.

111a由24＜a≤25，≤＜，得2＜＜5.

12b5b[B

能力提升] 3a－b－；③(a2＋b2)(c2＋d2)>(ac1．现给出下列三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>22＋bd)2.其中恒成立的不等式的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 2解析：选B.对于①，因为a－2a＋1＝(a－1)2≥0，

所以当a＝1时，a2＋1＝2a.

所以a2＋1>2a不恒成立．

3a－b－＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＋1＝(a－1)2＋(b＋1)2＋对于②，因为(a2＋b2)－221>0，

3a－b－恒成立．

所以a2＋b2>2222对于③，因为(a＋b)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2，

当ad＝bc时，(ad－bc)2＝0，

所以(a2＋b2)(c2＋d2)>(ac＋bd)2不恒成立，故选B. 2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：

bb－1①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2. aa－1其中不成立的是________．

a－bbb－1ab－b－ab＋a解析：①－＝＝.

aa－1a（a－1）a（a－1）因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，

①不成立；

②取a＝2，b＝－2，

则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；

③取a＝2，b＝－2，

则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．

答案：①②③

3．已知y＜x＜0，0＜a＜b，求证：y2－a＞x2－b. 证明：因为y＜x＜0，

所以－y＞－x＞0，

所以(－y)2＞(－x)2＞0，

即y2＞x2.①

因为0＜a＜b，

所以0＜a＜b，

所以－a＞－b.②

由①②得y2－a＞x2－b.

－1≤α＋β≤1，4．已知α，β满足试求α＋3β的取值范围．

1≤α＋2β≤3.解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)＝(λ＋μ)α＋(λ＋2μ)β，

λ＋μ＝1比较α，β的系数得，

λ＋2μ＝3解得λ＝－1，μ＝2.

由题意知－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，

两式相加得1≤α＋3β≤7，

所以α＋3β的取值范围是[1，7]．