三 反证法与放缩法教学设计和教学实录

2.3 反证法与放缩法

教学目的（要求）：使学生初步掌握反证法的概念及反证法和放缩法证题的基本方法；

培养学生用反证法和放缩法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：反证法和放缩法证题的步骤；理解反证法和放缩法的推理依据及方法。

教学过程：

一、反证法：

1、反证法证题的步骤 若A成立，求证B成立。

共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。

反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

如：求证：若

|x| |y| 则

x 

y。证：因为，若x =y，则|x|=|y|，若x =-y，则|x|=|y|，所以，若

|x| |y| 则

x  y 再如：求证：若

ab0,

则nanbnN,n2。证：若nanb，则ab；若nanb，则ab。都与ab0矛盾。

以此说明反证法的步骤：及与逆否命题的等价性的互通。

2、例题讲解

例1、已知x,y0,且xy2,试证：1x1y,中至少有一个小于2。

yx证：反证法，假设1x1y1x1y,2,2

都不小于2，即yxyx因为x,y0,所以1x2y,1y2x，相加得xy2，这与已知xy2,矛盾

所以原命题成立。

例2、已知a,b,c为实数，abc0.abbcca0,abc0，求证：a0,b0,c0

证明：反证法，假设a,b,c不全大于0，则a,b,c中至少有一个不大于0，由题意不妨设a0

（1）若a0，则abc0与已知矛盾。

（2）若a0，因为abc0，所以bc0，又因为abc0,cba0

所以abbccaabcbc0矛盾。

同理可证b0,c0

综上所述原命题成立。

33例3、若p>0,q>0,p+p=2.证明：p+q≤2. 1

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分析：此题直接由条件推证p+q≤2是较难的，由此用反证法证之。

33223证明：假设p+q＞2,∵p＞0,q＞0.则：(p+q)=p+3pq+3pq+q＞8. 3333又∵p+q=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：pq(p+q)>2. (1) 又由p+q=2，即22222(p+q)(p-pq+q)=2代入（1）得：pq(p+q)＞(p+q)(P-pq+q)，但这与（p-q）≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.

二、放缩法：

1、放缩法的意义：放缩法发理论依据是不等式的传递性：若ab,bc，则ac

放缩法的操作：若求证PQ，先证PP1P2需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。

（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的PnQ,

2、例题讲解

例4、设a、b、c均为实数，求证：Pn,再证恰有PnQ,

111111

2a2b2cbccaab证明：∵a、b、c均为实数，

11111∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；

22a2bab2ab11111（＋）≥≥，当b=c时等号成立；

2bc2b2c2bc11111（＋）≥≥．

22c2aca2ca三个不等式相加即得111111++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立

bccaab2a2b2c例5、已知a,b,c,dR，求证1证明：因为a,b,c,dR，

所以abcd2

abdbcacdbdacaaa

abcdabdabbbb

abcdbcaabccc

abcdcdbcdddd

abcddacdc以上三式相加得：

abcdabcdabcd

abcdabdbcacdbdacabcdabcd2

即1abdbcacdbdac2

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例6、已知

a,bR，求证：

|ab||a||b|

1|ab|1|a|1|b|x，证明其为增函数证之。

1x【分析】1、曾经用构造函数fx2、亦可用abab进行放缩法证明。

【证法一】左式=111|ab||a||b||a||b|

1|a||b|1|a||b|1|a||b|≤|a||b|=右式

1|a|1|b|【证法二】左式

=1|a|b11|a||b|1

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a||b|≤|a||b|=右式

1|a|1|b|11122!3!n!(nN*)

预备求证：1本题主要考查不等式的证明及分析问题、解决问题的能力。

分析：如果将每一项都适当放大后拆顶以求抵消，命题就容易得证。

证明：因为n1,n2时成立

n3时，都有亦可：111111111n1，于是有112n12

n!22!3!n!222112!3!11111n!122334n11112

nn1n1例7、求证：213nN,n2

n11121证明：因为n2，所以11CnCn2nnn1112131又11CnCnCn32nnnn11nn11nn1n112!n23!n3nnCnn112

1

nnn!1

n!nn3

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11112!3!11122n!2213

2n1

以下选用：

不等式的基本证明方法

已知

a,b,c,dR,求证：ab证法一：综合法

22c2d2acbd

2abcdacadbcacbd2abcdbcad222222222222222222b2d22abcd

acbdbcadacbd当且仅当bcad时取等号

证法二：分析法

要证

ab2222222c2d2acbd

2只需证acadbcbdacad2abcd

只需证bcad2abcd

只需证bcad0，当且仅当bcad时取等号

此式显然成立，所以原式得证，当且仅当bcad时取等号

证法三、比较法

因为ab22222222222222222c2d2acbdb2c2a2d22abcdbcad0

22所以原式得证，当且仅当bcad时取等号

证法四、三角代换法

设abr,cdr22222212222 所以ar1coscr2cos

,brsindrsin12222所以acbdr1r2coscossinsinr1r2ab22c2d2

证法五、构造函数法

22222对照构造二次函数fxabx2acbdxcd

 a2x22acxc2b2x22bdxd2axcbxd0xR

22222所以2acbd4abc2d20

课堂小结

六、课后作业：P 29 1、2、3、4、5、6

课外: <成才之路>

P 45、P49、P 51 三个

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