3.三个正数的算术-几何平均不等式课件配套优秀获奖教案

算术平均数与几何平均数

目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：

一、定理：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2 当ab时，(ab)2022ab2ab

2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR

2．强调取“=”的条件ab

二、定理：如果a,b是正数，那么取“=”）

证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab

22abab（当且仅当ab时2注意：1．这个定理适用的范围：aR

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：

定理：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc

（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab]

(abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]

2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc

指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证

推论：如果a,b,cR，那么abc3abc 3（当且仅当abc时取“=”）

证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3cabc33abc

abc3abc

3 四、关于“平均数”的概念

1．如果a1,a2,,anR,n1且nN

则：

a1a2an叫做这n个正数的算术平均数

nna1a2an叫做这n个正数的几何平均数

a1a2ann≥a1a2an

n2．点题：算术平均数与几何平均数

3．基本不等式： nN*,aiR,1in

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4．abab的几何解释：

2D 以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DD’AB 则CD2CACBab A a C b D’

B 从而CDab

而半径abCDab

2五、例一

已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

证：∵a2b22ab b2c22bc c2a22ca

以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca

∴a2b2c2abbcca

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3 a补充：1．已知6a8,2b3，分别求ab,ab,的范围

b (8,11) (3,6) (2,4) 2．xR试比较 2x41与2x3x2（作差2x41>2x3x2）

3．求证：a2b2b2c2c2a22(abc)

证：a2b22(ca)

222(ab) b2c2(bc)

22c2a2三式相加化简即得