资料摘要
基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程： 一、知识学习：定理1：如果a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：a
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2.基本不等式教学实录
未知
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关键词：2.基本不等式教学实录
正文
基本不等式
教学目标：
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程： 一、知识学习：
定理1：如果a、b∈R，那么a＋b
≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：a＋b－2ab＝（a－b）
当a≠b时，（a－b）＞0，当a＝b时，（a－b）＝0 所以，（a－b）≥0 即a＋b
≥2ab
由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么
号）
证明：∵（a
）＋（b
）≥2ab ∴a＋b≥2ab
，即
222 2 222 2 22 2 2[来源:学科网]
a
＋b2
≥ab
（当且仅当a＝b时取“＝”
a
＋b22
≥ab
＝ab 显然，当且仅当a＝b时，说明：1）我们称a
＋ba
＋b2
为a，b的算术平均数，称ab
为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a＋b≥2ab和
2
2a
＋b2
≥ab
成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：[来源:Zxxk.Com]
2例1例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多
少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
说明：若x、y皆为正数，
则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值_______.2P
若x、y皆为正数，
则当x+y的值是常数S时，
当且仅当x=y时，
xy有最大值_______S2；
14变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m232的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
l＝240000＋720（x＋1600
）≥240000＋720×2xx·1600 x＝240000＋720×2×40＝297600
1600当x＝
，即x＝40时，l有最小值297600 x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三．练习
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
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