1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教学目标设计

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

青海湟川中学

赵宗贤

一、教学分析

教材中先通过简单几何体的展开图说明求空间几何体表面积的方法之一：化立体图形为平面图形，用平面图形的面积大小计算立体图形的表面积。这样，棱柱、棱锥、棱台的表面积变成了求几个平行四边形、三角形、梯形的面积之和的问题。

至于球的表面积公式，教材中直接给出结论。鉴于课程容量，本节尚无法拓展这个公式的由来，可以在讲解球的体积公式时一并简单提及。

二、教学目标

1．了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆)，提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣．

2．会求简单几何体的侧面积和表面积，提高学生的运算能力．

3．掌握球的表面积，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，渗透转化与化归的数学思想．

三、教学重难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式及其应用．

教学难点：表面积和体积计算公式的应用．

四、课时安排

1课时

五、教学过程

1、导入新课

在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的呢？你能否计算？

设计意图：用初中学过的求正方体和长方体的表面积为例，渗透用几何体的平面展开图求表面积的方法，为后续学习其他几何体的表面积打下基础。

2、

新知探究

提出问题

(1)如图1所示分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图，试归纳直棱柱的侧面展开图形状及侧面积公式．归纳正棱锥的侧面展开图形状及侧面积公式．

图1 直棱柱的侧面展图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．

设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则得到直棱柱侧面面积计算公式

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S直棱柱侧＝ch.

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．

正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，容易得到正n棱锥的侧面积的计算公式

11S正棱锥侧＝nah′＝ch′.

22即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．

棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．

(2)如图2是正四棱台的展开图，由此归纳正棱台的侧面积公式．

图2 (2)正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．设棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，可以得出正n棱台的侧面积公式

111S正棱台侧＝n·(a＋a′)h′＝(na＋na′)h′＝(c＋c′)h′，

22211即S正棱台侧＝na＋a′h′＝c＋c′h′.

22这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．

棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．

(3)

想一想，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到它们的侧面积公式？

S圆柱侧＝2πRh，S圆锥侧＝πRl.

(4)阅读教材，写出球的表面积公式．

S球表＝4πR2

即球面面积等于它的大圆面积的四倍．

3、例题讲解

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积

．

例3如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100 mL油漆，涂100个这样的花盆需要多少

mL油漆？(π取3.14，结果精确到1 mL，可用计算器)

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分析：只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．

151520解：如上图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S＝π[()2＋×15＋×15]2221.5－π()2≈1 000(cm2)＝0.1(m2)．

2涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100＝1 000(mL)．

答：涂100个这样的花盆需要1 000 mL油漆．

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用．

4、课堂练习

1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（

）

2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为_______度

5、总结回顾

圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体．圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

图4 r1＝r2＝r2r1＝0，r2＝rS圆柱表＝2πr(r＋l)――→S圆台表＝π(r1l＋r2l＋r2＋r――→S圆锥表＝πr(r＋l)．

12)从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来．

六：作业布置

作业：书P27练习 1、2 P28 习题1 本节辅导资料

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