复习参考题课时教案

不等式的性质及解法

【基础知识回顾】

一、两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔ ；a－b＝0⇔ ；a－b<0⇔ 二、不等式的性质．

(1)对称性：a>b⇔ ；

(2)传递性：a>b，b>c⇒ ；

(3)不等量加等量：a>b⇒ ；

(4)不等量乘正量：a>b，c>0⇒ .

(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒ ， (6)异向不等式相减：a>b，c

(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ ；(8)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒

；

(9)不等式的乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N*且n>1)；(10)不等式的开方：a>b>0⇒a>b(n∈N且n>1)．

三、一元二次不等式的解法

设a>0，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1

四、分式不等式的解法

*nnf(x)f(x)先将不等式整理为>0或≥0的形式，再转化为整式不等式求解，即

g(x)g(x)f(x)>0⇔ g(x)

,

f(x)≥0⇔ . g(x)例析及练习：

【例1】

适当增加不等式的条件使下列命题成立：

，，①若a>b，

，

则ac≤bc；

②若ac2>bc2

则a2>b2；

ab③若a>b，

，

则lg(a＋1)>lg(b＋1)；

④若a>b，c>d，

，则>. dc1.若a，b是任意实数，且a＞b，则下列结论正确的是(

) A．a2＞b2

b1－－B.＜1

C．lg(a－b)＞lg

D．3a＜3b aa－b12.若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于 (

) x11111111

A．－＜x＜0或0＜x＜

B．－＜x＜

C．x＜－或x＞

D．x＞或x＜－

baababab3．如果a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是(

) A．ab＞ac

B．c(b－a)＞0 C．cb＜ab 22D．ac(a－c)＜0 11ba4．若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中不正确的是______。

abab115．若－1＜a＜b＜0，则，，a2，b2中值最小的是________．

ab11116．已知a＞b，则不等式①a2＞b2，②＜，③＞中不能恒成立的是________．

aba－ba

1

【例2】

(1)若x

(2) 设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小

1.对于0＜a＜1，给出下列四个不等式，其中成立的有____________．

11111＋a1＋1＋a1＋①loga(1＋a)＜loga(1＋)；②loga(1＋a)＞loga(1＋)；③a＜aa；④a＞aa. aa2.已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(

) A．c≥b＞a

【例3】

B．a＞c≥b

C．c＞b＞a

D．a＞c＞b

设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

α－βππ1．已知－≤α<β≤，则的范围是________．

2222．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围是________．

351【例4】

解不等式(－x2＋)≥(x2－9)－3x. 232

1．不等式(x2－2)log2x＞0的解集是(

) A．(0,1)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)

B．(－2，1)∪(2，＋∞) D．(－2，2) 2．不等式2x(x＋2)＜3(x＋2)的解集为__________．

2x＋1，x≥0，3．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．

1，

x<0，

4. 已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则不等式cx2＋bx＋a＞c(2x－1)＋b的解集为________．

5．不等式(x－4)x2－3x－4≥0的解集为________ x2＋2x－2【例5】

解下列不等式：(1)(x－4)(x－6)≤0;

(2)＜x. 3＋2x－x222

2

11．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于(

) x11111111A．－＜x＜0或0＜x＜

B．－＜x＜

C．x＜－或x＞

D．x＞－或x＞

baababba

x2．不等式2＞2的解集为________________．

x－8x＋153．不等式x2(x＋1)＞0的解为_______________；x3(x＋1)>0的解为______________．

ax－1【例3】

解关于x的不等式2>0. x－x－2

【例4】函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．

x－c已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式>0(c为常数)．

ax－b

均值不等式及运用

【基础知识回顾】

一、基本不等式

设a，b∈R，则①a≥0；②a＋b≥2ab，a，b∈R，要认识到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量式，应用广泛．

二、均值不等式

设a，b∈(0，＋∞)，则 ，当且仅当 时，不等式取等号．三、灵活变式

222

3

(a＋b)2a2＋b2a＋b2a＋b2a2＋b2 ①a＋b ；②ab ；

③ab ()；④() ；

⑤(a＋b)2 4ab.

2222222

当且仅当a＝b时，各式中等号成立．

四、利用两个定理求最大、最小值问题

1．x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最

值2P. S22．x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最

值. 4注：“正、定、等”。

31.函数y＝1＋2x＋(x＜0)有最________值为__________．

x52．已知0＜x＜1，则函数y＝2＋log2x＋有最__________值为__________．

log2x53．函数f(x)＝x(5－2x)，x∈(0，)的最大值为__________．

3

4．函数f(x)＝x2＋5的最小值为____________．

x2＋4xy＋5.已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34a＋b【例1】

已知a、b∈R，则ab、、

2＋a2＋b22ab、的大小顺序是

2a＋ba2＋b2a＋b≥ab≥

22a2＋b2≥ab

2

(

) a＋bA.≥ab≥2C.a2＋b22ab2ab≥

B.≥2a＋ba＋ba2＋b2a＋ba＋b2ab2ab≥≥ab≥

D.≥≥222a＋ba＋ba＋b1

已知a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg()，则P、Q、R的大小关系是________．

2251【例2】

(1)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．

44x－519(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy

1.若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

112.已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为(

) xy3．A．6

B．5

C．3＋22

x2＋23．函数y＝(x＞1)的最小值是(

) x－1A．23＋2

B．23－2

C．23

D．2

D．42

4

111＋4.设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a、b、c∈R)，则M的取值范围是(

) abc1A．[0，]

8

11B．(，1)

C．[，1]

88

D．[8，＋∞) 11＋5.已知a，b，c∈R，则(a＋b＋c)(＋)的最小值是________．

a＋bc196.在等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式1＝＋成立且这两个自(

)(

)然数的和最小：所填自然数分别为________．

7．解下列问题：

4(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＞2 ，求x＋的最小值；

x－249(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

xy

18．已知正数a、b满足a＋b＝1.

(1)求ab的取值范围；

(2)求ab＋的最小值．

ab

二次函数与二次方程根的分布

一、二次函数的解析式

1．一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

2．顶点式：f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)，

为顶点坐标．

3．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1、x2为两实根．

求二次函数的解析式一般都是采用

法．

二、二次函数在闭区间上的最大值和最小值

对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：

1．若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}．

2．若k∉[m，n]，

当k

，ymax＝

；

当k>n时，ymin＝

，ymax＝

(当a<0时，可仿此讨论)

3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况转化为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象问题，进一步转化为不等式问题．以下是常见的几种根的分布情况：

①若方程的两个实根都大于m，

5

fm>0，则bm<－，2aΔ≥0a>0，

fm<0，或bm<－，2aΔ≥0.a<0，

②若方程的一个根大于m，另一个根小于m，

a>0，a<0，则或⇔a·f(m)<0. fm<0fm>0

③若方程的两个实根，一个根在(p，q)内，另一个根在(m，n)内，且q

fn>0，当a>0时，fq<0，fm<0，fp>0，

fp<0，fn<0，当a<0时，fq>0，fm>0.

④若方程有两个实数根都在(m，n)内，则

fn>0，当a>0时，bm<－

fm>0，

fn<0，当a<0时，bm<－

⑤方程在区间(p，q)内只有一根,

则

f(p)·f(q)<0. 3．已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0(k为实数)有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是(

)

A．－2

28B.

C.

39D．1 ．若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则f(x)max＝________. 题型一

求二次函数的解析式

典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)最大值是8，求f(x)．

变式1 设二次函数f(x)，当x＝x1时，取最大值5(x1>0)，二次函数g(x)的最小值为－2，且g(x1)＝25, f(x)＋g(x)＝x2＋16x＋13. (1)求x1的值；

(2)求g(x)的表达式．

题型二

二次函数的最值问题

典例2 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．

变式2 已知函数y＝x2－2x＋3，当x∈[t，t＋1]时，求函数的最大值和最小值．

已知函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间[－1,1]上的最小值为－3，求实数a的值．

6

函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为(

) A．[－1,1]

55B．[－，－1]

C．[－，1]

445D．[－1，] 4题型三

一元二次方程根的分布问题

典例3 已知方程x2－2ax＋4＝0，

(1)若方程的两根均大于1，求实数a的取值范围；

(2)若方程的两根，一根大于1，一根小于1，求实数a的取值范围；

(3)若方程的一根在(0,1)内，一根在(6,8)内，求实数a的取值范围．

3变式3

方程x2－x＝k在(－1,1)上有实根，求k的取值范围．

211已知关于x的方程a()x－()x＋2＝0在区间[－1,0]上有实数根，则实数a的取值范围是(

) 42111A．[0，]

B．[－1,0)∪(0，]

C．[－1，]

888

．已知函数f(x)＝x2＋mx＋2，g(x)＝x＋1(0≤x≤2)，若方程f(x)＝g(x)有实根，则实数m的取值范围是________．

2x＋bx＋c，x≤0设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0), f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解2，

x>0D．[－1,0]

的个数是________．

．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．

5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．

答案：(－∞，0] 6．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________. 答案：6 8．关于x的方程x2－(2－a)x＋5－a＝0的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则a的取值范围是________．

5．已知f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，则(

) A．f(p＋1)>0

B．f(p＋1)<0

C．f(p＋1)＝0

D．f(p＋1)的符号不确定

6．已知二次函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a

) A．α

B．a<α<β

C．a<α

D．α0，设x1、x2是方程f(x)＝0的两根，则|x1－x2|的取值范围为(

)

7

A．[

32141311，)

B．[，)

C．[，)

D．[，) 333933939．函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是________．

方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是____________．

若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则f(x)的最大值为________．

8