阅读与思考 海伦和秦九韶课件配套优秀教案设计

海伦-秦九韶公式

1.3

算法案例――－秦九韶算法教学设计

姚安一中

何晓琼

教学目标：

（1）

在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。

（2）

体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

教学重点和难点

（1）

重点：理解秦九韶算法的思想。

（2）

难点：用循环结构表示算法的步骤。

教学基本流程

（1）

设计算法，求具体多项式的值

（2）

改进算法，提高运算效率

（3）

介绍秦九韶算法，求一般多项式的值

（4）

用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤

（5）

对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结

教学情景设计

一、新课引入

在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。通过海伦-秦九韶公式，推导出其拓广

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公式—任意三角形内切圆和外接圆的面积公式﹒

原理简介

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2 今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。

二、问题设计

问题

问题设计意师生互动

图

（1）设计求多项式使学生在自S提出一般的解决方案，如：

f(x)2x55x44x33x2己操作的过6xx=5 当x=5时的值的算法，程中进一步并写出程序。

认识问题本身及其算法。

f2*x5_5*x44*x33*x26*x7

END T点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算。优点是简单、易懂，缺点是不通用，不能解决任意多项式求值问题，而且计算效率不高。

(2)有没有更高效的算法？

帮助学生建T：计算x的幂时，可以用前面的计算结果，以减少计立改进算算量，即现计算x2，然后依次计算x，（（x2x）x）x的值。这样计算上述法、提高计x2x，（x2x）

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算效率得意多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？

识。

S：9次乘法运算，5次加法运算。

T：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。

（3）能否探求更好的进一步探索T引导学生把多项式变形为：

算法，来解决任意多项具有一般意式的求解问题？

义的算法。

并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？

S：2x5,Ax4,Bx3,Cx6,Dx7共五个一次式，

x的系数依次是：

2，2x5,(2x5)x4,((2x5)x4)x3,

(((2x5)x4)x3)x6f(x)2x55x44x33x26x7

((((2x5)x4)x3)x6)x7（4）若将x的值代入引导学生发变形后的式子中，那么现规律，归求值的计算过程是怎样的？

纳总结。

原多项式x的系数

变形后x的“系数”

2 －5 －4 3 －6 7 运算

10 25 21 105 540 2670 ＋

108 534 2677 5 2 5

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最后得系数2677即为所求的值。让学生描述上述计算过。

S：将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。

T：这种算法即是“秦九韶算法”，同时介绍秦九韶的生平。

（5）用秦九韶算法求引导学生分教是引导学生发现在求值过程中，计算只与多项式的多项式的值，与多项式析秦九韶算系数有关，让学生统计所进行得乘法和加法运算次数。

组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？

（6）秦九韶算法适用说明秦九韶T：怎样用秦九韶算法求一般的多项式

于一般的多项式f(x)anxnan1xn1的求值问a1xa0法的特点。

S：共做了5次乘法运算，5次加法运算。

算法的通用性。

f(x)anxnan1xn1a1xa0的值？

S:先将多项式变形为

f(x)anxnan1xn1a1xa0（（anxan1)xan2)xa1)xa0

题吗？

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然后由内向外逐层计算一次多项式的值。

T引导S思考：把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求：

v1anxan1v2v1xan2v3v2xan3

vnvn1xa0的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？

S:n次乘法运算，n次加法运算。

（7）怎样用程序框图引导学生认T:观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk1的表示秦九韶算法？

识秦九韶算值，若令

法中的循环v0an，我们可以得到下面的递推公式：

过程，并用算法的循环结构来表示环结构来实现。

这个过程。

S:画出程序框图。

（8）小结：通过对秦进一步体会T引导S思考、讨论、概括。小结时要关注以下几点：

九韶算法的学习，你对算法的特算法本身有哪些进一步认识？

点。

（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效的表达各种算法；v0an(k1,2,n)

vkvk1xank这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循

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等。

（9）课后作业：习题1.3A组第2题

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