3.1.2 复数的几何意义教学设计实例

一、创设情境：

为了解决x210在实数系内无解的问题，我们引入了虚数i，从而将数系从实数系扩充到复数系。

1.复数的代数形式为

zabi，a为

实部

，b为

虚部

。

2.复数zabi(a,bR)是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？

设计意图：学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。

二、研究新知

同学们思考一下：复数具有什么样的几何意义呢？

其实我们人类研究新问题, 研究未知问题的一个最基本方法, 就是“

由已知研究未知”，

也就是利用已知的东西研究未知东西。我们已经知道, 复数是由实数扩充得来的，要研究复数的几何意义, 利用什么已知来研究呢?

既然复数由实数扩充得来, 那能不能类比实数的几何意义来研究呢? 师: 实数有什么几何意义呢? 生: 实数可以用数轴上的点来表示. 师: 为什么实数可以用数轴上的点来表示呢? 生: 一一对应

师: 对, 实数与数轴上的点一一对应. 这个“一一对应”重要啊! 正是由于一一对应, 我们才可以把每一个实数, 用数轴上的点( 几何意义) 来表示. 数轴上的点就是实数的几何模型, 也就是实数的几何意义之一. 这样所有实数都在数轴上了, 那么, 实数集的几何模型是什么? 生: 数轴.

有关实数的几何意有关复数的几义

何意义

实数可以用数轴上的

点来表示

1

实数集的几何模型: 数轴

1

那么, 你能否想象一下怎么来刻画复数的几何意义? 能不能用类比的方法从几何的角度来解释复数? 请同学们先独立思考, 然后小组讨论, 大家分享研究成果, 并解释研究成果的合理性. 设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找到复数的几何意义。

师: 对复数的几何意义, 你们各小组得到什么结论? 为什么? 生: 复数的几何意义是平面直角坐标系中的点

Z( a, b) . 因为每个复数 都可以看作是一个“

有序实数对( a, b)” , 实数对( a, b) 与直角坐标系中的点 Z( a, b) 是一一对应的。

这样, 复数

z = a+ bi ( a, b  R）就与平面直角坐标系中点

Z( a, b) 一一对应. 所以, 复数

z = a+ bi ( a, b 

R) 就可以用平面直角坐标系中的点 Z( a, b) 来表示。

师( 板书图示) : 很好, 在平面直角坐标系

x Oy 中, 以复数

z = a+ bi( a, b 

R) 的实部为横坐标, 虚部为纵坐标, 就确定了点

Z( a, b) , 我们可以

用点

Z( a, b) 来表示复数

z =

a+ bi , 这就是复数的几何意义, 也就是复数的几何模型.

师: 类比实数集的几何模型是数轴, 你们有什么发现? 生: 复数集的几何模型是平面直角坐标系所在的平面. 师: 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复数平面, 简称复平面( 也称高斯平面) . 那么

x 轴上的点和y 轴上的点

所表示的复数分别有什么特点? 生: x 轴上的点表示的是实数, y 轴上的点表示的是纯虚数. 师: 他说的有没有缺陷? 生: 有缺陷. 应该是: y 轴上的点除原点外, 表示的都是纯虚数. 师: 哦, 实数对应的点都在

x 轴上, 我们给

x 轴起个名字称为实轴. 那么虚轴呢? 生: y 轴称为虚轴. 师: 还有什么发现? 大家想想看, 我们还用有序实数对( a, b) 表示过什么? 生: 平面向量

师: 表示哪个向量呢? 生: OZ 用图表示更清晰)

师: 那为什么复数

z 能够用向量OZ 表示呢? 生: ( 学生回答, 教师板书,

师: 复数

z = a+ bi 与平面向量O Z 一一对应, 所以就可以用向量表示复数

z = a+ bi . 由这样的一种关系出发呢, 于是我们对复数又产生了一个新的认识.

设计意图：通过思考2，让学生能够把复数和向量相结合，从而推导复数的另一个几何意义。

什么新的认识呢?

复数可以看作是向量, 复数可以用向量表示. 当然, 我们还应该注意, 复数( 0, 0) 就与零向量对应. 我们得到了复数的又一种几何意义--复数的向量意义. 师: 如何理解

复数

z = a+ bi ( a, b 

R) 、复平面上的点

Z( a, b) 与平面向量OZ之间的关系? 生: ( 1) 三者有联系

三者一一对应, 是通过有序实数对在三者之间建立起一一对应关系.因此三者都表示复数

z , 为了方便起见, 把复数

z = a+ bi ( a, b R) 说成点

Z 或向量OZ. 三者的联系可以用右图表示:

( 2) 三者有区别，主要是表达形式不同. z = a+ bi 从数的角度刻画复数. 点

Z( a, b) 从形的角度刻画复数. 向量OZ 从形的角度刻画复数.

z = a+ bi( a, b 

R) 称为复数的代数形式.

点

Z( a, b) 称为复数的几何形式.

向量OZ称为复数的向量形式. 师: 还有什么发现? 如果把绝对值概念推广到复数中来, 复数绝对值的几何意义是什么? 生: 应该是! 复数的对应点

Z( a, b) 到坐标原点

O 的距离

师: 那么, 这个距离怎么表示? 刚才不是发现复数可以用向量表示吗? 你有什么启发? 生: 既然复数可以用向量OZ表示, 那么就能得到zOZa2b2

师: 复数绝对值与实数绝对值的几何意义一

样, 是复平面内点

Z( a, b) 到原点

O 的距离, 也就是向量OZ的模, 即

| z | = | OZ | = | OZ| . 我们把向量OZ的模称为复数的模或复数的绝对值.

三、例题讲解

例1 实数x分别取什么值时，复数z（m2m6)(m2m2)i

对应的点Z在第二象限？

学生说思路，师生共同点评，然后学生做题，并找学生黑板做题。

师生点评做题情况

设计意图：让学生理解表示复数的点所在象限的问题转化，复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题，并掌握重要的数学思想：数形结合思想

四、当堂检测

1.判断对错. （1）实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数；

（2）若|z1||z2|，则z1z2；

2.当m＜，复数1z2＋m-1i在复平面上对应的点位于（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、已知a，判断z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限. 设计意图：通过试题的形式检测学生对知识的掌握情况

课堂小结：

1、复数几何意义

2、复数模的几何意义

3、数学思想方法：类比、数形结合

板书设计：

§3.1.2复数的几何意义

4.例题讲解

例1. 1.复平面的概念

2.复数的几何意义

一一对应①复数zabi例2.

复平面内的点Z(a,b)

一一对应例3. ②复数zabi平面向量OZ；

3.复数的模

复数zabi(a,bR)的模：

引入

练习

作业布置

|z||OZ|a2b2

教学反思：

本节课从实数出发，联想类比得到复数可用复平面上的点来表示，进而得到复数的向量形式, 这是由一维向二维转化发展的联想, 同时实现了从数到形的转化, 类比平面向量的加减法, 又得到复数加减法的几何意义, 从而对复数有了新的认识. 通过复数的几何意义与复数加减法的几何意义的学习, 体会数形结合的思想. 复数作为一种新的数学语言, 也将为我们今后用代数方法解决几何问题提供了新的可能.