2.2.1 综合法和分析法名师教学设计1

高中数学新课标人教A版选修1-2

2.2.1直接证明——综合法和分析法

执教教师：蔡苗苗

洛阳市第二实验中学电教中心

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一、教学目标：

1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

2、过程与方法: 通过学生分组自己讲练，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点、难点：

重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点，书写证明格式规范；

难点：分析法和综合法的思考过程、特点. 三、教学方法：

启发式教学法，分组讨论法

四、教学准备与设想：

抓住分析法和综合法的思考过程、特点，联系生活，渗透思想. “变形”是解题的关键，是最重一步，在教学引导时要多启发，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法. 五、教学过程：

（一）创设情景，引出课题

逻辑结构编织着中学数学，这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，今天，让我们共同步入“直接证明”的逻辑之旅吧！（板书直接证明）

1、请看图片：主角——葫芦，“瞎子摘葫芦”，打一歇后语.(生答).“顺藤摸瓜”，蕴含一种顺序思维，为综合法引入加深印象. 2、第二幅图片：白云山九龙瀑布，诗句：问渠哪得清如许，为有源头活水来，蕴含一种溯源（逆推）思维，为分析法做好铺垫.

(板书副标题：综合法与分析法) （二）抽象思维，形成概念

1、观察以下不等式证明讲解思维过程，师生共同分析. 问题1

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

法一：证明:因为b2c22bc,a0, 所以a(b2c2)2abc, 因为c2a22ac,b0, 所以b(c2a2)2abc. 因此, a(b2c2)b(c2a2)4abc. 2222a(bc)b(ca)≥4abc

法二：要证：2222a(bc)≥2abc,b(ca)≥2abc

只要证：2222a0,b0bc≥2bc,ca≥2ac

∵∴只要证：2222a0,b0,c0bc≥2bc,ca≥2ac∴得证. 又∵，∴2、对比得出概念及特点

（1）综合法

定义：象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法) 用综合法证明不等式的逻辑流程图是：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

（2）

分析法

定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. (又称倒推证法)

用分析法证明不等式的逻辑框图是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：执果索因

分析法的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有……

这只需要证明命题B2为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故命题B必为真

3、进步设疑，理解新知

问题2: 在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式出其中的证明方法的特点.

证法1:对于正数a,b, 有

2（ab）≥0ab≤ab(a0,b0)?2指ab2ab≥0ab≥2abab

≥ab2

证法2:要证

ab≤ab2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab

2因为最后一个不等式成立，故结论成立. 总结：综合法，表达简洁；分析法，目的性强，易于探索. （三）初步应用，巩固概念

1、讲一讲

在△ABC中,设BCa,CAb,求证：SABC＝１２ab－ab.

２２2请同学们前后四人一组分组讨论，合作交流，引导试图找出两种证法.并请代表上台. 2、练一练

1）在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△

ABC为等边三角形.

2）求证：

a

,b,c

3725

请同桌交流，两人合作分工把两个题的步骤给顺出来，并请代表演板. 3、说一说

请对综合法与分析法进行比较，说说它们各自特点，回顾以往数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识. 综合法的特点:由因导果;分析法的特点：执果索因. 教师展示一副对联，说一说二者比较：由因导果，顺藤摸瓜；执果索因，逆推破案；横批——直接证明.（门心为“蜡烛迷宫”）

(四)深入探究，感受方法

1、研一研

a,b,c的倒数成等差数列，求证：（1）△ABC三边长

B90（综合法）分析：

cosBacb2ac22222acb2b2b112acb(ac)2acb0因为a,b,c为△ABC三边

，所以 a + c > b 1ac所以 cosB>0 因此

B90

ab2.若a1,b1,求证：1.

1ab（分析法）

ab1证明：要证

1ab只需证明

ab2

11ab只需证明

只需证明

ab2(1ab)2(a21)(b21)0a1a21b1b21a10,b10因此(a21)(b21)0所以原命题成立. 222、思考小结

（1）综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!)

其格式为: 由因导果

(已知)AB1

（2）分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化

(结论)BB1BnA(已知) BnB(结论) 注:分析法被认为是解数学题的“绝招”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明. 3、教师点拨

从概念，特点和二者关系上进一步点拨. 六、作业布置：

1、P44 A组 T1，2; 2、进一步“研一研”专题的两个题目，下节展讲. 七、板书设计：

2.2.1 直接证明——综合法和分析法

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