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基本不等式(小结) 学习目标

最新考纲

考情考向分析

理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最1.了解基本不等式的证明过程. 值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.

知识梳理

1．基本不等式：ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

ba(2)＋≥2(a，b同号)．

ab(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)≥22 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 4知识拓展

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；

不等式f(x)

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1(1)函数y＝x＋的最小值是2.(

×

) x(2)函数f(x)＝cos x＋π40，的最小值等于4.(

×

) ，x∈2cos xxy(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(

×

) yx1(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.(

×

) aa＋b(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件．(

×

) 2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P99例1(2)]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A．80

B．77

C．81

D．82 答案

C x＋y解析

∵x>0，y>0，∴≥xy，

2即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 3．[P100A组T2]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案

25 解析

设矩形的一边为x m，

1则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

2

∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三

易错自纠

14．“x>0”是“x＋≥2成立”的(

) xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 1解析

当x>0时，x＋≥2x1x·＝2. x1111因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，xxxx故选C. 235．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(

) 2x＋12A．0

C．1

答案

A 1231x＋＋解析

y＝x＋－＝－2 12x＋122x＋2≥21B.

23D.

2x＋1·1－2＝0，当且仅当x＋1＝1，即x＝1时等号成立．

21212x＋2x＋2∴函数的最小值为0.故选A. 6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(

) A．2

C．4

答案

D 3x＋y31解析

由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，

xyyx131＋

所以4x＋3y＝(4x＋3y)·5yxB．3 D．5

3y12x14＋9＋＋

＝xy51≥(4＋9＋236)＝5，

53y12x当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，

xy故4x＋3y的最小值为5.故选D. 典例分析

题型一

利用基本不等式求最值

题点1

通过配凑法利用基本不等式

典例

(1)已知0

1解

x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) 313x＋4－3x24≤·32＝3，

2当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

3x2＋2(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

x－1x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3解

y＝＝

x－1x－1x－12＋2x－1＋3＝

x－13＝(x－1)＋＋2≥23＋2. x－13当且仅当x－1＝，即x＝3＋1时，等号成立．

x－1题点2

通过常数代换法利用基本不等式

典例

(2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(

) A．8

C．4

B．6 D．2 11解

由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝ab1＋1(a＋b)＝2＋b＋a≥2＋2abab值为4，故选C. ba·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小ab评

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．

题型二

基本不等式的实际应用

典例

(2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成1本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)310 000＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能x全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解

(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得当0

12x＋10x－250 L(x)＝1 000x×0.05－31＝－x2＋40x－250；

3当x≥80时，

10 00051x＋－1 450－250 L(x)＝1 000x×0.05－x10 000x＋＝1 200－x. －3x＋40x－250，0

1(2)当0

即当x＝60时，L(x)max＝950万元；

10 000x＋当x≥80时，L(x)＝1 200－x

≤1 200－210 000＝1 000(万元)，

当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元，

综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．

评

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

题型三

基本不等式的综合应用

命题点1

基本不等式与其他知识交汇的最值问题

41典例

(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(

) A．9

B．8

C．4

D．2 答案

A 解析

圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为

x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 因此4b＋1c＝(b＋c)41b＋c＝4cbb＋c＋5. 因为b，c>0，

所以4c＋b≥4cbc2b·bc＝4. 当且仅当4cb＝bc时等号成立．

由此可得b＝2c，且b＋c＝1，

即当b＝23，c＝13时，41b＋c取得最小值9. (2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，

则Sn＋8a的最小值是________．答案

9n2

解析

a＝a－1)d＝n，Sn1＋nn1＋(nn＝2，

n1＋n∴Sn＋82＋81a＝＝nn2n＋16n＋1

≥122n·169n＋1＝2，

当且仅当n＝4时取等号．

∴Sn＋8a的最小值是9n2. 命题点2

求参数值或取值范围

典例

(1)已知a>0，b>0，若不等式31ma＋b≥a＋3b恒成立，则m的最大值为(bc)

A．9

B．12

C．18

D．24 答案

B 31m解析

由＋≥，

aba＋3b319ba得m≤(a＋3b)a＋b＝a＋b＋6. 9ba又＋＋6≥29＋6＝12 ab当且仅当9b＝a，即a＝3b时等号成立，

ab∴m≤12，∴m的最大值为12. x2＋ax＋11(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围x＋1是________．

8－，＋∞

答案

3解析

对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，

x2＋ax＋118x＋＋3. 即≥3恒成立，即知a≥－xx＋1817设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝. x3∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝88x＋＋3≤－，

∴－x388－，＋∞. ∴a≥－，故a的取值范围是33评

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

a跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(

) x13A.

B.

C．1

D．2 22答案

C 解析

由题意可得a>0，

a①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；

x17，

3

a②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2，

x当且仅当x＝－a时取等号，

2－2a＝0，所以解得a＝1，故选C. 2a＋2＝4，(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，14则＋的最小值为(

) mn3A.

29C.

4答案

A 解

由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．

因为aman＝4a1，所以qm所以2m＋n－2＋n－2

5B.

325D.

6＝16，

＝24，所以m＋n＝6. 14141所以＋＝(m＋n)m＋n

mn6n4m115＋＋≥5＋2＝mn66n4m3·＝. mn2n4m当且仅当＝时，等号成立，

mn又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．

143故＋的最小值为. mn2

布置作业：

若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．

答案

27 4a－1解析

因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝. a－16又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－a－161)＋＋15. a－1因为a－1>0，所以6(a－1)＋6＋15≥2a－166a－1×＋15＝27，

a－1

6当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27. a－1