小结课件配套优秀

3.4 基本不等式小结与应用

【教学目标】

1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题

教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

教学过程：

一、创设情景，引入课题

提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把ab叫做正数a、b的算术平均数，2把ab叫做正数a、b的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

讲解：已知x,y都是正数，①如果xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；

②如果和xy是定值s，那么当xy时，积有最大值12s

4二、探求新知，质疑答辩，排难解惑

1、

新课讲授

例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：

（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy由 100,

篱笆的长为2（xy）

xyxy，

2可得 xy2100

2（xy）40

等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（x积为xym2，

由 xyy）=36，xy=18，矩形菜园的面xy189,可得 xy81, 221

可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9 点评：此题用到了

如果xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；

如果和xy是定值s，那么当xy时，积有最大值变式训练： 用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

解：设矩形的长为x(0x2a)，则宽为2ax，矩形面Sx(2ax)，且x0,2ax0．

由x(2ax)取等号），

由此可知，当xa时，Sx(2ax)有最大值a．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积a．

例2（教材P89例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果312s

4x(2ax)a．（当且近当x2ax，即xa时222池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

22l240000720(x16001600)2400007202x

xx240000720240297600

1600,即x40时,l有最小值2976000.

当xx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。

解：设圆桶的底半径为r分米，高为h分米，圆桶的成本为m元，则32m3r222rh

求桶成本最低，即是求m在r、h取什么值时最小。将h

2 3代入m的解析式，得

22r

m3r22(2r)(362)3r=r2r23r2333333(3r2)9

rrrr2333时，取“=”号。

rrr3∴当r1（分米），h（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。

2当且仅当3r点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，

归纳整理，整体认识

1．求最值常用的不等式：ab2ab，ab(ab2)，a2b22ab．

22．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．

3.建立不等式模型解决实际问题

当堂检测：

1 下列函数中，最小值为4的是：

（

）

Ａ．yx44

Ｂ．ysinx

(0x)

sinxxylog3x4logx3

Ｃ．yex4ex

Ｄ．2.

设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是( )

A. 10

B. 63

C. 46

D. 183

3函数yx1x2的最大值为

. 4建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2

的造价为200元和150元，那么池的最低造价为

元. 5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

答案：1C

2 D

3

1

4 3600

5

x10时，y有最小值10989，

23

基本不等式的应用

课前预习学案

一、预习目标

会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题

二、预习内容

1如果xy是定值p，那么当xy时，和xy有最

2如果和xy是定值s，那么当xy时，积有最

3若x1，则x=_____时,x1有最小值，最小值为_____. x14.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是_____. 三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

一、学习目标

1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题. 2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.

教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题

教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

二、学习过程

例题分析：

例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：

（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：

变式训练：1用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

2一份印刷品的排版面积（矩形）为A它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？

变式训练

答案 1 xa时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是

疑惑内容

Aa2a和bAb2b．

a

4

例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每221m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000。

变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2

的造价为200元和150元，那么池的最低造价为

元.

答案：3600 当堂检测：1若x, y是正数，且141，则xy有

（3

）

xy3Ａ．最大值16

Ｂ．最小值2已知x0,y0且满足11

Ｃ．最小值16

Ｄ．最大值

1616281,求xy的最小值.4 xyＡ．16

Ｂ20．

Ｃ．14

Ｄ．18 3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

答案:1 C 2 D

3 x10时，y有最小值10989，

课后复习学案

1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．

2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？

3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?

5