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基本不等式及其应用（求最值）

学习内容：基本不等式及其应用（求最值）

学习目标：

1．复习几个常用基本不等式；

2．能应用均值不等式解决最值、比较大小、求最值等问题；

3．在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。

4．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

教学重、难点：

应用基本不等式求最大值和最小值

课前复习：

写出a2b2、ab、 a+b三者之间关系的基本不等式

22ab221、ab2ab和ab，（a,bR，当且仅当ab时等号成立）

2ab2)，2、ab2ab或ab(（a0,b0，当且仅当ab时等号成立）

22223、2(ab)(ab)（a,bR，当且仅当ab时等号成立） 说明：注意运用均值不等式求最值时的条件：

一“正”、二“定”、三“等”；

课堂探究：

一、比较大小：（热身题）

1.（2011年高考陕西卷文科3)设0ab，则下列不等式中正确的是（ ）

（A）

abab（C ）aabb【答案】B 【解析】：ababb

（B）aab22abababab

(D) 220ab，abaaa,abbbb

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bbabababbabb故选B 又所以aab2222二、求最值：（例1和例2及其变型题作为热身题，让学生说答案，老师强调一下技巧即可）

技巧一：凑项

例1、已知x1，则函数y1x的最小值 x112

解：因为x1,所以x10,所以(x1)x111x(x1)1213,x1x1

1(当且仅当x1，即x=2时，取“=”号）x1y所以，所求函数y1x的最小值等于3. x12的最大值 x1变式：已知x1，则函数f(x)2x解：因为x1,所以1x0,所以2(1x)y2x24

1x222(1x)2422,x11x

1(当且仅当x1，即x=0时，取“=”号）x1所以，所求函数y2x技巧二：凑系数

例2. 当2的最大值等于-2. x1时，则yx(82x)的最大值 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

当评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

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变式1；已知0x2，则yx(63x)的最大值 解：因为0x2,所以63x0，所以13yx(63x).3x(63x)=3x(63x)33

3.33x(63x)223.3=33当且仅当3x=63x，即x1时，取""号

所以，所求yx(63x)的最大值等于3。

变式2：

(2011·上海十三校联考)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

14x3y解：因为xy4x.3y,x0,y04x.3y122234x3yx（当且仅当,即2时，取“=”号

4x3y12y2

又1124x3y12xy312223x2时，取“=”号）

（当且仅当y2

答案：3 技巧三：

分离或换元

x27x10,(x1)的最小值。

例3. 求yx1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

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当,即459

时,y2（x1)x1（当且仅当x＝1时，取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt当,即t=4时,y2t59（当t=2即x＝1时取t“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元．．．．．．．后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)x28,(x1)的最小值. 变式：求函数yx1AB(A0,B0)，g(x)g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

x8x12(x1)99(x1)2

解：yx1x1x196,即y628

又因为x1，即x10,所以(x1)x122（当且仅当x1=9，即x4时，取""号）

x1技巧四：整体代换

例4、(2012·福州模拟)设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，

则＋的最小值为(

) 23ab25811A.

B. C.

D．4 633解析：由a>0，b>0,2a＋3b＝6得＋＝1，

324/8 ab

2323ab23ba∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋

abab3232ab13≥＋2 6ba1325·＝＋2＝. ab66ba6当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．

ab52325即＋的最小值为. ab6答案：A 81变式1：已知正数x、y满足1，求x2y的最小值。

xy解：x2y81x16y102x16y18()(x2y)10, yxxyyx811xyx12,y即x16yyx当且仅当3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

变式2：5.（2009天津卷理）设a0,b0.

11若3是3与3的等比中项，则的最小值为

abab A 8 B 4 C 1 D

【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。

【解析】因为333，所以ab1，

ab141111baba(ab)()2224，

abababab1baab当且仅当即时“=”成立，故选择C 2ab技巧五：用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行

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例题5．（2011年高考浙江卷文科16)若实数x,y满足x2y2xy1，则xy的23最大值是 。 【答案】3

xy2)1

【解析】：：xyxy1(xy)xy1(xy)(2222223xy3

变式1：若实数x,y满足x2y2xy1，则xy的最大值是 。

变式2：若实数x,y满足x2y2xy1，则x2y2的最小值是 。

技巧六：消元法

81例题6．已知正数x、y满足1，求x2y的最小值。

xyx81解：由1得yx8，

xyx0,又x0x8则x2y

由y0x82x2(x8)16161616xxx2(x8)102(x8)1018x8x8x8x8x816。当且仅当x8即x12,此时y3时“=”号成立，故此函数最小x8值是18。

三、实际应用：

(2012·苏北四市联考)例7、某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．

(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？

解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：

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4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，

从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：

100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，

写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，

所以函数表达式为：

yfxx1＝(x)＝800x＋

220＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)；

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：

g(x)f(x)510x2790x90002000x10000x

＝50900x＋x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．

当且仅当x＝900x，即x＝30时等号成立．

答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．

四、错解剖析：

例8.已知x,yR且1x4y1，求uxy的最小值. 错解：11x4y4xyxy4 ,uxy2xy8,u的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1x4y和xy，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：u(xy)(1x4y)54xyyx549

当且仅当4xyyx即x3,y6时等号成立. u的最小值为9. 五、归纳小结

综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一、常用基本不等式：

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22ab221、ab2ab和ab，（a,bR，当且仅当ab时等号成立）

2ab2)，2、ab2ab或ab(（a0,b0，当且仅当ab时等号成立）

22223、2(ab)(ab)（a,bR，当且仅当ab时等号成立） 注意事项：

一“正”、二“定”、三“等”；

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。如错例8所示

二、常用技巧：

技巧一：凑项y1x

x1技巧二：凑系数yx(82x)

x27x10,(x1)

技巧三：

分离或换元yx1技巧四：整体代换

23设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为(

) ab技巧五：用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行

若实数x,y满足x2y2xy1，则xy的最大值是 。

技巧六：消元法

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