阅读与思考 九连环优质课教案推荐

数学文化视角下的翻转课堂教学案例

——“神奇的九连环”教学设计

青海师范大学附属中学 庞志雷

【教材分析】

“九连环”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页“阅读与思考”栏目中出现的内容。《普通高中数学课程标准（实验）》中明确指出，“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。”。九连环肇源甚古，文献记载可以上溯到战国时代，在之后漫长的岁月中，九连环代代相传。学生在解九连环游戏的过程中，感受中国传统文化，感悟数学原理，激发他们探索数学奥秘的兴趣和勇气。学生在问题解决的过程中，训练了数学抽象和归纳总结能力；在通项公式的推导过程中，提升了合作探究的能力；在学习资料的收集过程中，培养了自主学习的能力。

【教学目标】

（1）了解九连环的构造，能够熟练地解开九连环；

（2）在解九连环的过程中，推导“n连环”解法步数的递推公式；通过小组合作学习探究“n连环”解法步数所对应数列an的通项公式； （3）了解九连环解环步数与二进制格雷码之间的关系；

【教学重点】

（1）通过对九连环解环过程的研究，推导“n连环”解法步数的递推公式和通项公式；

1

（2）建立九连环状态所对应的二进制格雷码与九连环解环步数之间的关系。

【教学难点】

通过对九连环解环过程的研究，推导“n连环”解法步数的递推公式和通项公式是本节课的教学重点。

【学情分析】

本节课的授课对象为我校高一年级的学生，经过一年的学习与翻转课堂的学习实践，学生的自主学习能力有明显提升，对翻转课堂教学模式已经十分熟悉。学生在学***台上针对数学问题开展学习讨论，发现问题，提出问题，发表观点已成为常态。学生通过“数列”相关内容的学习，已经掌握了数列的基础知识和求解数列通项公式的基本方法。本节课在教师的引导下，学生能够通过自主学习、合作探究，充分感受“九连环”的文化价值及其蕴含的深刻的数学内涵。

【教学策略分析】

本节课借助翻转课堂教学模式，将传统课堂转变成以现代信息技术为依托的新型课堂；将数学文化以现代技术手段呈现，引导学生在学习知识的同时，学会合作学习，能够发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，培养学生的创新意识。

根据翻转课堂的基本理念，结合我校实际情况，设计了适合青海省西宁市示范高中数学教学的翻转课堂教学模式。该模式包括课前自主学习、课堂知识内化和学习反馈与评价三个环节（如图-1），具体实施步骤如下：

2

课前自主学习

学习资源

学习目标与任务

课前学习的反馈与评价

课堂知识内化

知识体系架构

合作学习

问题解决

知识掌握

学习能力提升

翻转课堂

学习反馈与评价

展示应用

小组评价与自我评价

学习效果测试

图-1西宁市示范高中数学翻转课堂教学模式

【教学过程】

1 课前自主学习

课前自主学习是翻转课堂教学的重要组成部分。基于微课的翻转课堂教学模式，一般是教师根据学生的实际情况，提供微视频、学习任务表等教学资源。学生使用教学资源进行自主学习，收集资料，从而了解和掌握相关的数学知识，并通过自我检测发现问题、提出问题。这种教学模式将知识传递和诊断反馈环节放在课外，而将知识的内化环节放在课内。其中优质的微视频和有效的课前检测是该教学模式成功的前提条件。

1.1教学微视频

3

为了保证教学视频的质量和可观赏性，笔者使用Focusky软件制作课件，用流行的录屏软件Camtasia Studio录制视频。

微视频从《战国策·齐策·齐闵王之遇杀》这一章的玉连环故事引入，介绍了九连环在国内外的流传、九连环的构造和操作技法、九连环与数学。

在九连环的解环过程中，引导学生发现解“n连环”需要移动次数的递推公式为an2an2an11(n3)，并提出问题：如何才能利用这个递推公式，出数列an的通项公式？

将九连环中环的状态与二进制数进行关联，引发思考，为引入格雷码（Gray Code）做准备。

设计意图：法国著名数学家庞加莱说过，“研究一门学科的历史与现状是我们预测这门学科未来的适当途径。”数学和其它学科一样有其枝繁叶茂的发展历史。通过九连环相关知识的介绍，不仅能提升学生的学习兴趣，展示知识的生成过程，还能引导学生感受数学的美学价值，体会探究学习的快乐。

1.2课前学生自主学习的目标与任务

课前知识学习的效果，直接关系到翻转课堂教学的成败。因此教师需要及时对学生的学习情况进行反馈与评价。为了达到这一目的，笔者特别设计了《学生课前自主学习测评表》（见附件1），主要包括课前学习内容、学习任务和问题与感悟三个环节。

1.2.1学生课前自主学习目标

自主学习目标是学生通过自主学习后所应达到的认知目标。合理的自主学习目标的设定，可以有效提升学生的学习效率，并为其参与4

课堂探究，完成知识建构提供最基本的保障。本节课的自主学习目标如下：

（1）了解九连环，并能解开九连环；

（2）了解九连环与数学的关系；

（3）初步探究“n连环”解法步数的递推关系。

1.2.2学生课前自主学习任务

通过观看微视频、查阅资料，完成下列学习任务：

任务一：了解九连环的构造；通过练习能够在十分钟之内解开九连环；

任务二：在解九连环的过程中思考并推导“n连环”解法步数的递推公式；

任务三：填写五连环状态与步数关系表。

任务四：查阅资料并思考如何建立九连环解法步数与二进制之间的关联

2课堂知识内化

2.1 学生自主测评展示

建构主义认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的。学生在课堂上以小组为单位展示学习成果，在交流与协作中发现问题，解决问题，并将新的问题带入到下一个学习环节中。

问题：请简述九连环的构造及解法并在十分钟之内解开九连环；

小组展示1：

5

环柄19 8 7 6 5 4 3 2柄把环杆板柄钗环环杆图-2

如图-2，九连环由柄把、环柄、九个圆环，环杆，环杆板等组成。

小组展示2：第一种技法：将第一环从手柄的前端绕出，它就可以从手柄的中缝中掉落下来，从而解下第一环。

第二种技法：将九连环的前两个环一起从手柄的前端绕出，从手柄的中缝里放下，从而解下第一环和第二环。

第三种技法：在前两环解下之后，第三环是解不下来的；但是，第四环可以解下来，这种解环的技法叫做飞跃。

九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下（或上）第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：

（1）第n-1个环在架上；

（2）第n-1个环前面的环全部不在架上。玩九连环就是要努力满足上面的两个条件。

小组展示3：学生解九连环最快4分02秒，大多数同学能在七分以内完成解环。

2.2情境引入，推导解“n连环”所需步数的通项公式和递推公式

6

20世纪七十年代早期，美国加州一位生产玩具的老板杰本.华生（Jesse R.Watson）提出了这样一个问题：假设有前8个环都已经解下，只剩第9个环在柄上，问解开这个九连环需要多少步？（如图-3和图-4）

-3 图-4 问题1：我们进一步提出问题，下图中哪一种情况解开九连环需要的步数更多？各需要多少步？ 初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，……入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。

“一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需要移动的次数为1次，记为a11。

“二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为a22。

“三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下7

图

第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为a3111a25；

“四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为a4a21a2a32a2a3110

依次类推，得到

a52a3a4121、a62a4a5142、a72a5a6185

a82a6a71170、a92a7a81341

问题2：如果每次只能上或下一个环，那么解“n连环”需要移动的次数为an，则数列an的递推公式是什么？

由上归纳类比，可得

“n连环”（n3）的解法可分为四步：第一步：先解前n-2环，需要移动an2次；第二步：解下第n环，需要移动1次；第三步：套上前n-2环，解法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动an2次；第四步：解下前n-1环，需要移动的次数为an1。于是解“n连环”需要移动的次数为anan21an2an12an2an11(n3)；

于是我们得到了一个数列的递推关系，即：已知数列{an}，其中a11,a22,an2an2an11,(n3) 问题3：能否根据数列an的递推公式，求出其通项公式？

引例：已知数列an中，a11,a23,an23an12an，求通项公式an

8

2an1an）解：由已知an2an1（，设bnan1an则

bn12bn，数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列，bn2n即an1an2n，an（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+（a2a1）+a12n1

1n3）我们能否参考引例，借助递推公式an2an2an1（，求出anan12an2an12an3an2an12an3an21解：

bn2aa（2aa）baa2b2nn2，则n1n1n3设na3na1n2即

4n3n3n1a5a32bb4bbq422n3n3数列是以的等比数列，

2为公比，6246n1a7a52ana12222n1n为奇数时，

即anan22。当n1anan232n1a4a22

n12142146n15221222a6aa2n4143

7357n1a8a62ana22222

当n为偶数时，n1anan22n

2n11n12（21-4）22（35n为奇数时）7n1an222223143

ann122（n为偶数时）3即

an数列a的通项公式呢？2aa1

nn2n1问题4：我们学会了解开九连环，通过努力，就一定能解开33连环？

学生：如果以6分种解开九连环为例，360秒完成341步，大约34一秒钟完成一步。根据通项公式，解开九连环需要an213=5726623061秒，约180年。也就是说从出生开始，不眠不休，永不出错，大约需要三生三世才能解开（笑声）。

2.3九连环与二进制数

根据上面的学习，我们知道如果每次只上或下一个环，解开图-39

状态的九连环所需的最少步数为341步。但解开图-2状态的九连环需要多少步呢？

2.3.1九连环与二进制数

考察九连环的解环过程可以发现，每一个环只有两种状态：在柄上或在柄下，而解环的操作也只上、下两种，就是将环在这两种状态之间变换。如果我们用0和l表示这两种状态，比如1表示环在柄上，0表示环在柄下，那么解环过程的每一种状态就对应一个九位二进制数，解环的过程就可用一系列二进制数表示来。

图-4 图-5

图-4环的状态可表示为100000000，图-5环的状态可表示为111111111。

图-6

为简单起见，我们先以五个环为例分析（如图-6）。左边起第一10

列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环，如11000就表示第一环第二环在上面，可以看成二进制数； 第二列是将环的状态由二进制转换为十进制；第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。

环的状态（二进制）

环的状态（十进制）

步数

00000 0 1 3 2 6 7 5 4 12 13 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

00001

00011 00010 00110 00111

00101

00100

01100

01101

01111

从表中可以看到，环的状态表示成二进制数，转换为十进制数后，与相应的步数没有必然的关系。

2.3.2九连环与格雷码（Gray Code）

格雷码是美国数学家弗兰克·

格雷在二战时为解决无线电通讯中，由于线路间的脉冲干扰严重而造成误码率太高的问题而发明的。11

其特点是，任意两个相邻的码只有一个数位不同。这样，在任一时刻都只有一根线有脉冲，干扰大大减少，出错率也就大大降低了。

2.3.3二进制格雷码与自然二进制码的互换

如何才能从由二进制格雷码转换为自然二进制码：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变（0变为1，1变为0）。如格雷码10101表示为二进制数是11001。简称奇变偶不变。

如何才能从自然二进制码转换为二进制格雷码呢？将一个二进制数，从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变。二进制数11011的格雷码是10110。

环的状态

环的状态

自然二进制码

二进制转

为十进制

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 12

步数

（二进制格雷码）

(十进制) 00000 00001 00011 00010 00110 00111 00101 00100 01100 01101 01111 0 1 3 2 6 7 5 4 12 13 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10110 10010 10011 10001 10000 7 5 4 12 13 11011 11100 11101 11110 11111 27 28 29 30 31 27 28 29 30 31 我们很惊奇的发现，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态10000才是最多，用31步！而所谓的状态00001正是只有第五环的情况，也就是说，此时我们可以上第六环了！

图-7 图-8

根据上面的研究，图-7状态的环可表示为二进制格雷码100000000，转换成自然二进制码111111111，解环需511步；是图-8环状态的环可表示为二进制格雷码111111111，转换成自然二进制码101010101，解环需要341步。多出的170步恰好是上一个八连环所需的步数。

九连环传到西方已有几百年

，数学家格雷应该读过有关九连环的著作，受到启发而发明了格雷码。由此看来，我们的祖先不乏天才的发明，却不能将其上升到理论，后期的工作往往由西方学者来实现，14

这是非常令人遗憾的。

2.4小结

今天我们一起研究了九连环，探究了以下几个问题：

（n为奇数时）3an（2）解“n连环”需要移动步数的通项公式：n122（n为偶数时）3；

n1解（）“n连环”需要移动步数的递推公式为an2an2an11(n3)；

211（3）九连环与格雷码。

吴文俊院士研究了九连环的玩法和数学原理后说：“数学是生动的、形象的、丰富多彩的。我们的祖先把玩具和数学结合起来，创造出数学玩具。使玩具有了数学的文化底蕴，使数学有了玩具的形象载体，珠联璧合，相得益彰。”。

数学不仅可以进行运算，还可以揭示出隐藏在现象背后的神秘规律。希望同学们努力学习，勤于思考，发现和体验更多的数学之美。

3 教学反思

3.1 借助翻转课堂，有效提升学生在数学课堂中的行为参与

翻转课堂需要教师转变角色定位，真正发挥学生在学习过程中的主体作用。本节课八分钟左右的微视频，为学生的课前自主学习提供了重要的支撑。为了保证学生学习的有效性，教师除了通过查阅平台纪录，组织线上小组交流，师生互动外，还布置了学生自主学习测评及课上小组展示，取得了较好的效果。但教学技术手段的改进不是万能的，翻转课堂对教师的自身能力提出了更高的要求。如何提升学生的自主学习能力，将传统课堂转变成以现代信息技术为依托，学生在教师帮助下发现问题、合作学习、实现知识内化的15

新型课堂，有效提升学生学习过程中的行为参与，还有很多工作要做。

3.2 开展“数学文化”课程，努力引导学生在数学课堂中的情感参与

美国数学家米勒认为，“数学史最大的作用乃是它在该学科的学习中注入了更多的活力，它把数学概念从静态转向动态；通过记录数学家在形成数学思想过程中所产生的影响，数学史使数学人性化了。”本节课，通过现代技术的呈现，让学生感知数学并不是枯燥乏味的科学，它涉及了生活的方方面面，蕴含着强大的生命力。学生在观看视频时感受到激动人心的数学之美，在通项公式的推导过程中体会到数学的理性精神，在性质的探究过程中感受发现的快乐。这一过程，使学生在知识学习的同时，得到数学文化的熏陶，体会数学的美学价值，感知数学学习的乐趣。

3.3 优化教学目标，真正实现学生在数学课堂中的认知参与

根据布鲁姆教育目标分类学，“更高层次上的教学应使学习在与现实情境相类似的情境中发生。”应用到高中数学课堂教学上，就是要求教师在课堂上一方面提供给学生解决问题所需的基本的理论基础知识和方法，另一方面又要留给学生一定的空间，营造问题情境，发挥学生的主体作用，通过学生自己的思考和探索，采用适当的策略，最终完成相关问题的解决，并架构起自己的知识体系。本节课从九连环的玩法开始，到九连环与数列，九连环与格雷码，逐步展开，课前学习任务与课堂教学目标环环相扣，让学生体会到科学探究的整个过程。引导学生学会科学地提出问题、分析问题和解决问题，培养学生16

的创新意识，真正实现数学课堂的认知参与。

附件1：

课前学生自主学习测评表

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班级：

姓名：

一、

学习内容

1.课题名称：九连环与数学

2.达成目标：（1）了解九连环，并能解开九连环；（2）了解九连环与数学的关系；（3）初步探究“n连环”解法步数的递推关系。

3.学习方法建议：

在九连环与数学之间的关系探究过程中培养收集资料、自主探究、分析解决问题的能力。

4.课堂学习形式预告

课前自主学习成效检测 “n连环”解法步数的递推关系连环”解法步数的通项公式

二、学习任务

通过观看《神奇的九连环》微课教学视频、查阅资料，完成下列任务：

任务一：了解九连环的构造；通过练习能够在十分钟之内解开九连环；

任务二：在解九连环的过程中思考并推导“n连环”解法步数的递推公式；

任务三：填写五连环状态与步数关系表。

任务四：查阅资料并思考如何建立九连环解法步数与二进制之间的关联。

三、问题与感悟：

九连环解法步数与二进制。

探究“n五连环状态与步数关系表

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