1.2.2 空间中的平行关系国家优质课一等奖

1.2.2

空间中直线与直线的位置关系

1.通过类比并借助实例理解空间中平行关系的传递性,熟记平行公理的内容,并能应用它证明线线平行问题.

2.通过类比并借助实例理解等角定理及其推论.,并能应用它证明空间中两个角的等量关系

3.结合图形,正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系),理解并掌握异面直线所成角的求法.

一幅立交桥图片如图所示,从图片中我们可以看出,设计人员借助空间思想,让各种车道在同一交汇点高低交错,减少了车道交叉的情形,有效地缓解了车辆行驶的拥挤情况.

问题1:从立体几何角度分析,立交桥运用了空间中的两条直线不共面原理,在空间中两条直线可以按是否共面进行分类,我们称不共面的两条直线为异面直线,共面的两条直线又可以分为两类,分别是

平行

直线和

相交

直线,异面直线和平行直线有一个相同特点

,即两条直线平行或异面,则这两条直线没有

公共点,相交的两条直线

有一个

公共点.

问题2:如何在空间中证明两条直线平行? (1)利用定义.利用定义证明两直线平行,要证两点:一是证明两直线

;二是证明两直线

.

(2)c利用公理4.用公理4证明两直线平行,只需证一点:就是要找到直线,使得a∥c,同时b∥c,由公理4可得a∥b.

问题3:在空间中,有些平面几何的结论在立体几何中也适用

.

(1)经过直线外一点有且只有

一条直线与这条直线平行

;

(2)公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行

;

(3)等角定理

:空间中如果两个角的两条边分别对应

平行

,那么这两个角相等

或

互补

;

(4)顺次连接

不共面

的四点A、B、C、D所构成的图形叫作空间四边形.这四个点叫作空间四边形的

顶点

;所连接的相邻顶点间的线段叫作空间四边形的

.

边

;连接不相邻的顶点的线段叫作空间四边形的对角线

问题4*:如何判断两条直线是否异面?如何求两条异面直线所成的角? (1)根据异面直线的定义“不在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性,不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.

(2)两条异面直线所成角θ的范围为(0°,90°].

(3)如图,为了求异面直线a与b所成的角,原则上可以在空间中任取一点a'O,过点O分别作a、b的平行线a'与b',再通过解相应的三角形求得、b'所成的锐角(或直角),即为所求角.但为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,特别是这条直线上的特殊点,如“端点”或“中点”等处.将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角,实现了空间问题向平面问题的转化.,这是解决立体几何问题的重要方法

异面直线的判断

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列几组直线: ①

②直线A1B与直线D1C; ③直线A1B与直线B1C; ④直线D1D与直线D1C; 直线AB与直线B1C.

其中是异面直线的为(

).

A.①②

B.①④

C.②③

D.②④

平行公理的应用

如图,A1、B1、C1、D1分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且

=

=

=

.求证:四边形A1B1C1D1为平行四边形.

*异面直线所成的角ABCD-A

在正方体1B1C1D1中,求异面直线BD与B1C所成的角.

(2015年·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(ll

).A.与1,l2都不相交

B.l与l1,l2l都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.至少与l1,l2中的一条相交

参考答案

知识体系梳理

问题1:平行

相交

没有

有一个

问题2:(1)在同一平面内

没有公共点

问题3:(1)有且只有

(2)互相平行

(3)平行

相等

互补

(4)不共面

顶点

边

对角线

重点难点探究

探究一:【解析】①中,易判断四边形A1BCD1是平行四边形,故A1B∥D1C;③中,D1D∩D1C=D1;②中,由图可知,点A1、B、B1在一个平面A1BB1中,而C不在平面A1BB1内,故A1B与B1C异面;同理,直线AB与直线B1C也异面.综上可知选D.

【答案】D 【小结】判断或证明两直线为异面直线的方法: (1)定义法:本方法不易操作,所以一般不用.

(2)反证法:可先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,然后以该假设为条件,进行推理,导出矛盾,从而可否定假设,即肯定两直线异面.此法在异面直线的判定中经常使用.

(3)在客观题中,也可用以下结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如下图.

探究二:【解析】在△ABC中,∵

=

, ∴A1B1∥AC.

同理C1D1∥AC, 由平行公理可知A1B1∥C1D1, ∴四边形A1B1C1D1是平面图形.

同理可证A1D1∥B1C1, ∴四边形A1B1C1D1为平行四边形.

【小结】用平面几何中的知识解决空间问题是立体几何中常用的方法,在平时的学习中要注意运用和体会.

探究三:

【解析】如图,连接A1D,A1B,则△A1BD是等边三角形,∠A1DB=60°.

又易知B1C∥A1D,∠A1DB即为所求异面直线BD与B1C所成的角, 故BD与B1C所成角是60°.

【小结】求两条异面直线所成角的大小的方法: 一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上.特别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.总之,顶点的选择要与已知量有关,以便于计算,具体步骤如下: (1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上; (2)证明作出的角即为所求角; (3)利用三角形来求解.

全新视角拓展

【解析】由直线l1和l2是异面直线可知,l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.

【答案】D