1.1.7 柱、锥、台和球的体积教案教学设计

《1.3.2 球的表面积和体积》教学设计

广州市真光中学 高一数学 苏国东

一、教学目标：

知识与技能：

1、了解球的体积公式V4R3、表面积公式S4R2。

32、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力。

3、能解决与球的截面有关的计算问题及球相关的“内切”“外接”的几何体问题。

过程与方法：

通过类比、猜想球的表面积和体积公式，变式训练强化内切、外接问题，提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力。

情感态度价值观：

培养学生空间想象能力以及勇于探索的精神，拓展学生视野，增强应用意识，渗透类比化归等数学思想，加强辨证唯物主义观点。

二、学情分析：

学生以前已学习过圆的概念、相关公式，有一定的类比迁移能力，对本节课球的概念和公式较容易接受，运算能力良好，能运用公式求解相关问题。但对正方体和球的几类情况较为陌生，学生具有一定的空间想象能力，借助3D软件和FLASH动画演示能较好理解新知。

三、教学重难点：

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。

难点：解决与球相关的“内切”“外接”的几何体问题。

四、教学方法：

探索启发式的教学方法。

五、教学用具：

3D玲珑画板、FLASH动画、PPT、板书等

六、教学过程：

教学环节

一、探究新知

教学内容

师生活动

设计意图

1.以生活实例“11月9日广州恒大夺冠!”引入。

1

2.复习: 球的概念：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的旋转体。

3.思考：

做一个足球需要用到多少布料？把一个足球充满气需要多少气体？

一、球的表面积和体积由哪个量来确定？探究

试猜想球的表面积和体积公式。

新知

引导学生类比得出球的表面积与半径的平方成正比，球的体积与

半径的立方成正比。猜想出SkR2,VkR3。

2教师给出球的表面积公式S4R、体积公式V4R3。以后3

从实际问题入手，激发学生的学习兴趣，复习球的概念。引导学生猜想球的表面积和体积公式。

唤起学生对球体的概念的认识，加深印象，为本节做好必要的知识铺垫. 可以证明。V和S都是以R为自变量的函数。

1．一个球的直径为4cm，则它的表面积是_________，体积是_________。

2．一个球的表面积是36，则它的体积是_________。

3．若两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为________。

4．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，

求证：球的体积等于圆柱体积的（球内切于圆柱）

教师引导，学生分组探究，教师巡视，个别指导，发现共性问题，及时让同学讨论。教师通过3D动画直观呈现问题。

巩固所学知识，培养学生的分析和解决问题的能力以及基本的运算能力。题目联系柱体表面积、体积、三视图等相关知识，新旧知识结合，增强实用性。通过变式训练突破难点，解决与球的截面有关的计算问题及球相关的“内切”“外接”的几何体问题。

2。

3二、

新知

你想到求球的体积的办法了吗？（测量水位高度变化）

应用

变式1．正方体中心处有一小球，现把球吹大，使得球面与正方体的各面都相切。设正方体的棱长为a，则球的半径为多少？

变式2．若把球吹大到刚好包住整个正方体，即正方体各个顶点都在球面上。正方体的棱长为a，此时球的半径为多少？

变式3．若把球吹大到与正方体各条棱都相切，正方体的棱长为a，此时球的半径又为多少？

2

二、

新知

应用

问题．正方体的棱长为a，一球与正方体各面相切，一球与正方体各侧棱相切，一球过正方体各顶点，则这三球的体积之比为 。

变式4．一个几何体的三视图如下，则它的外接球的表面积是 。

思考题．求棱长为a的正四面体的外接球的半径。

还有别的方法吗？

1．球的表面积公式：____________。（球的半径为R）

2．球的体积公式：____________。（球的半径为R）

三、课堂

小结

3．球的内切、外接问题：

实质就是根据几何体的相关数据求球的半径或直径，根据“切点”、“接点”、半径直径所在的轴截面，把空间问题转化为平面问题来计算。

学生小结，教师完善。

学生小结,逐步提高学生自我获取知识的能力；教师完善，使知识更系统化。

四、提升训练

1．已知球的大圆周长为8cm，则这个球的表面积是 ，学生课检测学习体积是 。

后完成。

效果。

2．一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深度为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径。

3．一个正六棱柱的底面边长为a，侧棱长是底面边长的2倍，则这个六棱柱的外接圆的半径为多少？

4.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱。

（1）求圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

5.求棱长为a的正四面体的内切球的半径。

3

七、板书设计：

八、教学反思：

1．本节课通过恒大夺冠进行引入，复习了球的概念。根据圆的周长、圆的面积、正方体的体积猜想球的表面积和体积公式，配以4道练习，让学生熟练2个公式的运用。然后对第4题进行3种变式，分别是正方体的内切球、外接球、棱切球的半径与棱长的关系。给学生充足时间进行探究，并利用3D模型进行演示，直观形象解决问题。突出了解决这类问题的关键是用已知数据计算半径或直径，并找到轴截面，把空间问题转化为平面问题来解决。学生语言表达、动手能力强，表现精彩。

2．在三个变式后的体积比问题可以提前放到变式前，先把问题提出给学生，再一个个进行突破。在讲外接球的时候可以再深入讲到球心到各顶点距离相等，就是半径长，为后面思考题作铺垫。知识之间的联系还不到位，几个问题的截面都是三视图，可以从三视图的角度观察空间图形。

3．教师讲的还是有点多，学生讲的较完整的问题教师还是再重复了一遍，要想好讲什么、何时讲、怎么讲，学生能讲的让学生讲，不要过多重复，教师讲要点评到位，要有提升，拓展学生能力。学生遇到困难时要多鼓励学生，让学生有信心尝试解决问题。对学生探究讨论中出现的问题要及时反馈，并让学生充分思考发表意见。

球的表面积：S4R

球的体积：V2球的表面积与体积

练习讲解

4R3

3小结

内切球

棱切球

外接球

图1

图2

图3

4