2.基本不等式说课稿【一等奖】

§7.4

基本不等式及其应用

最新考纲

考情考向分析

理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最1.了解基本不等式的证明过程. 值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.

1．基本不等式：ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

ba(2)＋≥2(a，b同号)．

ab(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)≥22 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 4

知识拓展

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；

不等式f(x)

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1(1)函数y＝x＋的最小值是2.(

×

) x(2)函数f(x)＝cos x＋π40，的最小值等于4.(

×

) ，x∈2cos xxy(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(

×

) yx1(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.(

×

) aa＋b(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件．(

×

) 2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P99例1(2)]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A．80

B．77

C．81

D．82 答案

C x＋y解析

∵x>0，y>0，∴≥xy，

2即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 3．[P100A组T2]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案

25 解析

设矩形的一边为x m，

1则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

2∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三

易错自纠

14．“x>0”是“x＋≥2成立”的(

) xA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 1解析

当x>0时，x＋≥2x1x·＝2. x1111因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，xxxx故选C. 235．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(

) 2x＋12A．0

C．1

答案

A 1231x＋＋解析

y＝x＋－＝－2 12x＋122x＋2≥21B.

23D.

2x＋1·1－2＝0，当且仅当x＋1＝1，即x＝1时等号成立．

21212x＋2x＋2∴函数的最小值为0.故选A. 6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(

) A．2

C．4

答案

D 3x＋y31解析

由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，

xyyxB．3 D．5

131＋

所以4x＋3y＝(4x＋3y)·5yx3y12x14＋9＋＋

＝xy51≥(4＋9＋236)＝5，

53y12x当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，

xy故4x＋3y的最小值为5.故选D.

题型一

利用基本不等式求最值

命题点1

通过配凑法利用基本不等式

典例

(1)已知0

2答案

31解析

x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) 313x＋4－3x24≤·32＝3，

2当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

3x2＋2(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

x－1答案

23＋2 x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3解析

y＝＝

x－1x－1x－12＋2x－1＋3＝

x－13＝(x－1)＋＋2≥23＋2. x－13当且仅当x－1＝，即x＝3＋1时，等号成立．

x－1命题点2

通过常数代换法利用基本不等式

典例

(2017·河北衡水中学调研)若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(

) A．8

B．6

C．4

答案

C D．2 11解析

由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋bab11ba＋(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝abab小值为4，故选C. 思维升华

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．

跟踪训练

(1)若对∀x≥1，不等式x＋1－∞，

答案

211解析

因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，xx＋11＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1，不等式x2＋111－∞，. －1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝，故实数a的取值范围是22x＋11－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________．

x＋1ba·＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最ab(2)(2017·武汉模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．

答案

8 21解析

由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. xy214yx∴x＋2y＝(x＋2y)×x＋y＝x＋y＋4≥4＋4＝8，

当且仅当x＝2y时等号成立．

题型二

基本不等式的实际应用

典例

(2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成1本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)310 000＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能x全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解

(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得当0

12L(x)＝1 000x×0.05－3x＋10x－250 1＝－x2＋40x－250；

3当x≥80时，

10 00051x＋－1 450－250 L(x)＝1 000x×0.05－x10 000x＋＝1 200－x. ∴L(x)＝x＋10 000，x≥80.1 200－x对称轴为x＝60，

即当x＝60时，L(x)max＝950万元；

1－x2＋40x－250，0

1(2)当0

≤1 200－210 000＝1 000(万元)，

当且仅当x＝100时，L(x)max＝1 000万元，

综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．

思维升华

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

跟踪训练

(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

答案

30 解析

一年的总运费为6×6003 600＝(万元)．

xx一年的总存储费用为4x万元．

3 600＋4x万元．

总运费与总存储费用的和为x3 600因为＋4x≥2x3 600·4x＝240，

x

3 600当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

x所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

题型三

基本不等式的综合应用

命题点1

基本不等式与其他知识交汇的最值问题

41典例

(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小bc值是(

) A．9

B．8

C．4

D．2 答案

A 解析

圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为

x2＋(y－1)2＝6，

所以圆心为C(0,1)．

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 414cb41因此＋＝(b＋c)b＋c＝b＋c＋5. bc因为b，c>0，

4cb所以＋≥2bc4cb·＝4. bc4cb当且仅当＝时等号成立．

bc由此可得b＝2c，且b＋c＝1，

2141即当b＝，c＝时，＋取得最小值9. 33bcSn＋8(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N*)，若a1＝d＝1，则的最小值是an________．

9答案

2n1＋n解析

an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

2n1＋n＋82Sn＋8161n＋＋1

∴＝＝nann2

1≥22169n·＋1＝2，

n当且仅当n＝4时取等号．

∴Sn＋89的最小值是. an2命题点2

求参数值或取值范围

31m典例

(1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(

) aba＋3bA．9

B．12

C．18

D．24 答案

B 31m解析

由＋≥，

aba＋3b319ba得m≤(a＋3b)a＋b＝a＋b＋6. 9ba又＋＋6≥29＋6＝12 ab当且仅当9b＝a，即a＝3b时等号成立，

ab∴m≤12，∴m的最大值为12. x2＋ax＋11(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围x＋1是________．

8－，＋∞

答案

3解析

对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，

x2＋ax＋118x＋＋3. 即≥3恒成立，即知a≥－xx＋1817设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝. x3∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝88x＋＋3≤－，

∴－x388－，＋∞. ∴a≥－，故a的取值范围是33思维升华

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值17，

3

或范围．

a跟踪训练

(1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(

) x13A.

B.

C．1

D．2 22答案

C 解析

由题意可得a>0，

a①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；

xa②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2a＋2，

x当且仅当x＝－a时取等号，

2－2a＝0，所以解得a＝1，故选C. 2a＋2＝4，(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，14则＋的最小值为(

) mn3A.

29C.

4答案

A 解析

由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，

解得q＝2或q＝－1(舍去)．

因为aman＝4a1，所以qm所以2m＋n－2＋n－2

5B.

325D.

6＝16，

＝24，所以m＋n＝6. 14141所以＋＝(m＋n)m＋n

mn6n4m15＋＋

＝mn61≥5＋26n4m3·＝. mn2n4m当且仅当＝时，等号成立，

mn又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意．

143故＋的最小值为. mn2

利用基本不等式求最值

12典例

(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

xy3(2)函数y＝1－2x－(x<0)的值域为________．

x错解展示：

12(1)∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 xy2，

xy∴xy≥22，∴x＋y≥2xy＝42，

∴x＋y的最小值为42. 33(2)∵2x＋≥26，∴y＝1－2x－≤1－26. xx3∴函数y＝1－2x－(x<0)的值域为(－∞，1－26]．

x错误答案

(1)42

(2)(－∞，1－26] 现场纠错

解析

(1)∵x>0，y>0，

12∴x＋y＝(x＋y)x＋y

y2x＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，

xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33－≥1＋2 (2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋xx－3－2x·＝1＋26，当且仅当x＝－x63时取等号，故函数y＝1－2x－(x<0)的值域为[1＋26，＋∞)．

2x答案

(1)3＋22

(2)[1＋26，＋∞) 纠错心得

利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．

a2＋b21．(2017·孝感调研)“a>b>0”是“ab<”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A a2＋b2解析

由a>b>0，可知a＋b>2ab，充分性成立，由ab<，可知a≠b，a，b∈R，故必222要性不成立，故选A. 2．下列不等式一定成立的是(

) 1x2＋>lg x(x>0) A．lg41B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1D.2>1(x∈R) x＋1答案

C 11解析

当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，

4211x2＋≥lg x(x>0)，当且仅当x＝时，等号成立，故选项A不正确；

所以lg42运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，

而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，

故选项B不正确；

由基本不等式可知，选项C正确；

1当x＝0时，有2＝1，故选项D不正确．

x＋1143．(2018·青岛质检)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) ab79A.

B．4

C.

D．5 22答案

C 14114＋·解析

依题意，得＋＝(a＋b) ab2ab1b＋4a≥15＋2＝5＋2ab2a＋b＝2，b4a当且仅当a＝b，a>0，b>0，149即＋的最小值是. ab2

b4a9·＝，

ab2

24即a＝，b＝时取等号，

33

11124．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(

) ababA．4

C．8

答案

B 11a＋b12解析

由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2ababab即a＝2，b＝2时等号成立．故选B. 21212·＝22.当且仅当＝，ababB．22 D．16 125．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

C．22

答案

C 1212解析

由＋＝ab知，a>0，b>0，所以ab＝＋≥2abab2，即ab≥22，当且仅当abB．2

D．4 12a＋b＝12＝，abab，

44即a＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小值为22. x6．(2018·平顶山一模)若对任意x>0，2≤a恒成立，则a的取值范围是(

) x＋3x＋11A．a≥

51C．a<

5答案

A x解析

因为对任意x>0，2≤a恒成立，

x＋3x＋1x所以对任意x∈(0，＋∞)，a≥x2＋3x＋1max，

1B．a>

51D．a≤

5而对任意x∈(0，＋∞)，

x1＝≤1x＋3x＋1x＋＋32x21＝，

51x·＋3x111当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴a≥. x5

a2＋b27．(2018·天津滨海新区八校联考)已知a>b>0，且ab＝1，那么取最小值时，b＝________. a－b答案

6－2

2a2＋b2a－b2＋2ab2解析

＝＝(a－b)＋≥22，

a－ba－ba－b1当且仅当a－b＝2时取等号，所以－b＝2，

b解得b＝6－2－6－2. 舍去22128．(2017·襄阳一调)已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．

x＋1y9答案

2解析

∵x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，

∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，

∴12121＋＝[(x＋1)＋2y]x＋1＋y

x＋1y2512y2x＋1＋＝＋

y22x＋151≥＋×2222y2x＋19·＝，

y2x＋12y2x＋1x＝－，3＝，yx＋1当且仅当即2y＝x＋2y＝1，3故129＋的最小值为. 2x＋1y

1

时取等号，

9．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．

答案

[4,12] x2＋4y2解析

∵2xy＝6－(x＋4y)，而2xy≤，

222x2＋4y2∴6－(x＋4y)≤，

222∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．

又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，

即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12 (当且仅当x＝－2y时取等号)．

综上可知，4≤x2＋4y2≤12.

10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．

答案

2

20 解析

设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，

k2则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，

x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k1＝5，k2＝20，

205x＋万元，

∴运费与仓储费之和为x∵5x＋20≥2x5x×2020＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为xx20万元．

11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

11(2)求＋的最小值．

xy解

(1)∵x>0，y>0，

∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，

当且仅当2x＝5y时，等号成立．

2x＋5y＝20，x＝5，因此有解得

2x＝5y，y＝2，

此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0，

11112x＋5y＋·∴＋＝

xyxy205y2x117＋＋≥7＋2 ＝xy2020＝7＋210，

205y2x·

xy5y2x当且仅当＝时，等号成立．

xy

由5y2xx＝y，2x＋5y＝20，

1010－20x＝，3解得20－410y＝.3

7＋21011∴＋的最小值为. xy2012.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2. (1)试用x，y表示S；

(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？

解

(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，

则y＝a＋b＋3＝3a＋3,

所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a

y－38＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x>3，y>3)．

3381 800(2)方法一

S＝1 808－3x－×

3x4 8003x＋＝1 808－x≤1 808－2＝1 808－240＝1 568，

4 8001 800当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，

xx所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．

4 8003x＋方法二

设S＝f(x)＝1 808－x(x>3)，

340－x40＋x4 800则f′(x)＝2－3＝，

xx2令f′(x)＝0，则x＝40，

当00；

当x>40时，f′(x)<0. 所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.

111913．(2017·广东清远一中一模)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(

) aba－1b－1A．16

C．6

B．9 D．1 4 8003x×

x

答案

C 11解析

∵正数a，b满足＋＝1，

ab1111∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，

abba∴b>1，a>1，

则∴19＋≥2a－1b－19＝2a－1b－194＝6(当且仅当a＝，b＝4时等号成立)，

3ab－a＋b＋119＋的最小值为6，故选C. a－1b－114．(2017·东莞调研)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线12mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．

mn答案

8 解析

y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，

由A在直线mx＋ny＋1＝0上，

可得－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. 122m＋n22m＋nn4mn4m11∴＋＝＋＝＋＋4≥24＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等mnmnmnmn42号成立)．

xy21215．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是(

) zxyzA．0

9C.

4答案

B 解析

xyxy11＝2≤＝1，

2＝zx－3xy＋4yx4y4－3＋－3yxB．1 D．3 1221212当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－2＋＝－y－1＋1≤1，当且仅当xyzyyy＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．

答案

27 4a－1解析

因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝. a－16又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－a－1

61)＋＋15. a－1因为a－1>0，所以6(a－1)＋6＋15≥2a－166a－1×＋15＝27，

a－16当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27. a－1