一 比较法优秀完整教案

1．如果x>0，比较(x－1)2与(x＋1)2的大小．

解：(x－1)2－(x＋1)2

＝[(x－1)＋(x＋1)][(x－1)－(x＋1)]

＝－4x.

因为x>0，所以x>0，所以－4x<0，

所以(x－1)2<(x＋1)2. a2－b2a－b2．设a>b>0，求证：22>. a＋ba＋ba2－b2a－b证明：法一：2－

a＋b2a＋ba3－b3－ab2＋a2b－a3＋b3＋a2b－ab2＝

（a2＋b2）（a＋b）2a2b－2ab2＝

（a2＋b2）（a＋b）2ab（a－b）＝，

2（a＋b2）（a＋b）因为a>b>0，

所以a－b>0，ab>0，a2＋b2>0，a＋b>0.

a2－b2a－b所以22－>0，

a＋ba＋ba2－b2a－b所以22>.

a＋ba＋b法二：因为a>b>0，

所以a＋b>0，a－b>0.

a2－b2a2＋b2a2－b2a＋b所以＝·

a－ba2＋b2a－ba＋b（a＋b）2＝22

a＋b2a＋b2＋2ab＝

a2＋b22ab＝1＋2>1.

a＋b2a2－b2a－b所以22>. a＋ba＋b113．(2015·高考湖南卷)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：

ab(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

11a＋b证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.

abab(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.

(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

同理，0

故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

1114．已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c<＋＋. abc证明：法一：因为a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，

111111＋＋＋111bccaab111所以a＋b＋c＝

＋

＋

<＋＋＝＋＋.

bccaab222abc111所以a＋b＋c<＋＋. abc111法二：因为＋≥2＝2c；

abab111111＋≥2＝2a；＋≥2＝2b.

bcbccaac111所以以上三式相加，得＋＋≥a＋b＋c.

abc111又因为a，b，c互不相等，所以＋＋>a＋b＋c.

abc法三：因为a，b，c是不等正数，且abc＝1，

bc＋caca＋abab＋bc111所以＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋abc222b＋c.

111所以a＋b＋c<＋＋. abc115．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝ab. ab33(1)求a＋b的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

112解：(1)由ab＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．

abab故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．

所以a3＋b3的最小值为42.

(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.

由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.

6．(2016·贵州省六校第一次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

111(1)＋＋≥8；

abab111＋1＋≥9. (2)ab证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，

11111a＋b所以＋＋＝＋＋

abababab11＝2a＋b

a＋ba＋b＝2a＋b

ba＝2a＋b＋4

1ba当且仅当a＝b＝时，等号成立，

≥4 ×＋4＝82ab111所以＋＋≥8.

abab111111＋1＋＝＋＋＋1，

(2)因为ababab

111由(1)知＋＋≥8.

abab111＋1＋≥9. 所以ab