二 一般形式的柯西不等式教学设计内容推荐

二

一般形式的柯西不等式

学习目标

1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．

知识点一

三维形式的柯西不等式

思考1

类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？

答案

设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，

22222则|α|＝a21＋a2＋a3，|β|＝b1＋b2＋b3. ∵|α||β|≥|α·β|，

22222∴a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，

222222∴(a1＋a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3). 思考2

三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？

答案

当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．

梳理

三维形式的柯西不等式

222222设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a1＋a22＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．

知识点二

一般形式的柯西不等式

1．一般形式的柯西不等式

22222设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2. 2．柯西不等式等号成立的条件

当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得

ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立.

类型一

利用柯西不等式证明不等式

命题角度1

三维形式的柯西不等式的应用

例1

设a，b，c为正数，且不全相等．

2229求证：＋＋＞. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c证明

构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；

111，，，则由柯西不等式得

a＋bb＋cc＋a111(a＋b＋b＋c＋c＋a)a＋b＋b＋c＋c＋a≥(1＋1＋1)2， 111即2(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋c＋a≥9，

2229于是＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，

①中有等号成立⇔a＋bb＋cc＋a＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. 111a＋bb＋cc＋a

①

因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

2229于是＋＋＞.

a＋bb＋cc＋aa＋b＋c反思与感悟

有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：

(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．

(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．

(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．

(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．

abcbca跟踪训练1

已知a，b，c∈R＋，求证b＋c＋a·a＋b＋c≥9. 证明

由柯西不等式知，

左边＝a2＋bb＋ab2＋cb×cc＋bc2×ac×ab2＋aa2

cc2＋ba2

c≥a×b＝(1＋1＋1)2＝9，

∴原不等式成立．

命题角度2

一般形式的柯西不等式的应用

2a2a21a2n例2

设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1证明

由柯西不等式，得

a1＋a2＋…＋an(a2＋a3＋…＋a1) a1a2a3≥

a1a2an·a2＋·a3＋…＋·a12

a3a1a2222＝(a1＋a2＋…＋an)2，

2a2a21a2n故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an. a2a3a1反思与感悟

一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．

a2a212跟踪训练2

已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…＋a1＋a2a2＋a3a2a21n－1n＋≥. an－1＋anan＋a12a1a2an＋＋…＋证明

∵a＋aa＋aan＋a1×2 1223a1a2an＝a＋a＋a＋a＋…＋a＋a[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋a1)]

1223n1222222≥a21·a1＋a2＋a1＋a2a22·a2＋a3＋…a2＋a3

＋a2n·an＋a12

an＋a1＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，

a2a2a2112n∴＋＋…＋≥. a1＋a2a2＋a3an＋a12类型二

利用柯西不等式求函数的最值

例3

(1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________．

(2)已知0＜x＜1,0＜y＜1，则函数f(x)＝x2＋y2＋x－12＋y－12的最小值是________．

a2答案

(1)

(2)2 14123解析

(1)∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，当且仅当＝＝时取等号，即14(x2xyz＋y2＋z2)≥a2，

a2a2222∴x＋y＋z≥，即x＋y＋z的最小值为. 1414222(2)x2＋y2＋x－12＋y－12≥[x－x－1]2＋[y－y－1]2＝2，

故f(x)的最小值为2. 反思与感悟

利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

跟踪训练3

已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4. (1)求a＋b＋c的值；

11(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

49解

(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a＞0，b＞0，

所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c，

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，

由柯西不等式得

1a2＋1b2＋c2(4＋9＋1) 94ab×2＋×3＋c×12

≥32＝(a＋b＋c)2＝16，

118即a2＋b2＋c2≥，

49711ab23c当且仅当＝＝，

2318182即a＝，b＝，c＝时等号成立，

777118故a2＋b2＋c2的最小值为. 497

1．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则x＋2y＋3z的最大值为(

) A．27

B．23

C．4

D．5 答案

C 解析

∵(x＋2y＋3z)2＝(1·x＋2·y＋3·z)2≤[12＋22＋(3)2][(x)2＋(y)2＋(z)2] ＝8(x＋y＋z)＝16 111(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)，

434∴x＋2y＋3z≤4. 1112．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(

) a2b3cA．9

B．3

C.3

D．6

答案

A 1＋1＋1≥(1＋1＋1)2＝9，

解析

由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·a2b3c∴a＋2b＋3c的最小值为9. 11113．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)a＋b＋c

＋d的最小值为________．

答案

16 1111解析

(a＋b＋c＋d)a＋b＋c＋d

＝[(a)2＋(b)2＋(c)2＋(d)2]·12121212＋＋＋

abcd1111≥a·＋b·＋c·＋d·2

abcd＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，

当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．

x2y2z214．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥. y＋2zz＋2xx＋2y3证明

因为x＞0，y＞0，z＞0，所以由柯西不等式得[(y＋2z)2＋(z＋2x)2＋x＋y＋z≥(x＋y＋z)2，当且仅当y＋2z＝z＋2x＝x＋2y，即x＝y＝z(x＋2y)]·xyzy＋2zz＋2xx＋2y22221＝时，等号成立，

3x＋y＋z2x2y2z21所以＋＋≥＝. y＋2zz＋2xx＋2yy＋2z＋z＋2x＋x＋2y3

2222221．柯西不等式的一般结构为(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．

2．要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．