一 数学归纳法板书设计及设计说明

课题：数学归纳法

【教材分析】

本课题见于人教A版选修4-5第四讲第一节。本课处于柯西不等式与用数学归纳法证明不等式之间，起到承前启后的作用。本课促进了学生从有限思维发展到无限思维，培养了学生严密的推理能力、训练学生抽象思维能力，是体验数学内在美的好素材。

【学情分析】

学习本课前，学生对于“无限”的问题甚少接触。并且学生的归纳推理能力也比较薄弱，没有经过严谨的数学证明。但高二学生经过一年多的学习，已经初步具有了观察问题，分析问题，探究问题的能力，这是本课了解归纳法以及体会数学归纳法原理的基础。

【教学目标】

知识与技能：

1. 了解“归纳法”的含义。

2.理解“数学归纳法”的原理。

3.掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和严谨务实的数学思维品质与数学理性精神；

2. 认识有限与无限的辩证关系；

3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；

4. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

【教学重点】

归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】

数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用引导发现法和感性体验法进行教学。在教学过程中，教师采用启发，引导，点拨的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考。动手操作，交流合作，进而达到对知识的“发现”和接受，使书本的知识成为自己的知识。

在本教学设计中，通过生活实例和数学实验，促进学生对“递推原理”的理解，明确“两个步骤”的必要性，为“数学归纳法”的应用前提和场合提供形象化的参照物，为理解数学归纳法做了感性铺垫。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学

【教学过程】

（一）创设情境

情景设置1：

师：班长，同学们都到齐了吗？

生：到齐了。（班长站起来回顾四周后回答）

师：你是如何得知全班同学都到齐了呢？

生：因为所有的位置上都坐满人了啊。（对老师的问题表示疑惑）

师：很好，其实班长做出这个判断，用到了归纳法。我们不妨把他回顾四周的动作分解成60个步骤。（假设全班有60个同学）

有学生领会了老师的意思：哦，因为班长看到第一个座位上有人，第二个也有，这样一个一个看下去，到最后一个座位也有人，从而得出“人到齐了”这个结论。

师：非常好！这就是我们在生活中不知不觉用到的归纳法。像这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。（板书标题：归纳法）我们刚才通过一一列举，一个一个验证，最后得出“人到齐了”这个结论。这里同学们的个数是有限的，如果研究的对象是无限个呢？

情景设置2：

师：老师给你们讲个笑话吧。从前有个孩子叫做万百千，家长送他上学，学习识字。第一天先生教他一个“一”字。第二天先生又教了他个“二”字。到了第三天，他想先生一定是要教“三”字了，果然先生来了就教他这个字。这个孩子呢，他得出一个结论：“四”字一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，他觉得他所有字都认识了，就不去上学了。家长问他为什么不去上学。他得意的回答：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。

师：万百千在学习上犯了什么错误？

生：一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊子的写法推断所有字都这样写是错的。

师：是的。仅考察部分特例而得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法，它不可靠，所得结论不一定正确。上述两个例子中，都运用到了归纳法，在班长清点班级人数时，我们运用的其实是完全归纳法；在万百千的故事中，运用的是不完全归纳法，那么什么是归纳法，什么是完全归纳法，什么又是不完全归纳法呢？

承上启下，由上述一系列问题引出概念性的知识（投影展示以下三个概念的定义）

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.

特点：由特殊→一般；

2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；

3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法. 情景设置3：

师：请同学们思考讨论这两个问题。（教师在屏幕上显示以下问题）

(1)一个数列的通项公式是an=(n5n5)，容易验证，

，

所以说对任何n∈N，an＝(n5n5)=1。上述判断正确吗？

(2)若数列{an}是首项为

，公差为d的等差数列，那么

=

，a2=a1+d，

2222a3=a2+d=

+2d，

，……，由此可以得出它的通项吗？

生1：（1）中的判断是错误的，可以举反例，如第五项就不满足了。

（2）中等差数列的通项为：an＝a1+（n-1）d 生2：我觉得由此得到等差数列的通项公式是不可靠的，是不完全归纳法，应该经过严格的证明，才能得出正确的结论。

师：不错，只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。那怎样来解决这种无法全部验证的命题呢？如何用“有限”的步骤，去证明“无限”的命题呢？这就是我们今天将要学习的数学归纳法。（投影并板书本节课课题

数学归纳法）

（二）新课讲授

师：生活中，大家应该都有过这样的经历，有一列整齐排放的自行车，如果边上一辆无意中被碰到以后，会发生什么情况？

生：后面几辆也会倒下去。

师：好的，那现在让我们在教室里模拟演示一下自行车倒的实验。（拿出教具小长方形木块，在讲台上按一定间隔整齐摆放，把它当作自行车模型，边示范边做下面讲解。）

师：现在我们把自行车放在我们的讲台上，这样摆好后，要让他们全部倒下，我们应该怎么做？

生：只要推到第一个就行。

师：真的第一个倒下，其他就能倒吗？（把第三和第四格的间距拉开），这样能全部倒下吗？

生：不能。因为第三个和第四个的间距太大，相互碰不到，只能倒下前三个。

师：好，这就说明，要让他们全部倒下，必须先控制好他们每个之间的距离。也就是要保证做到：一个倒下去，后面一个也要被推倒。这是全部倒下的依据，关键。但是，如果这些都做好了，但我什么都不干，能保证他们全部倒下吗？

生：不能，必须碰倒第一个。

师：对了。只要满足以下两个条件，所有的木块都能倒下：（1）第一块木块倒下；（2）任意相邻的两块木块，前一个倒下一定导致后一块倒下。（板书：P(1)倒下；P(k)倒→P(k+1)倒）

师：请同学们思考：证明等差数列的通项公式与上述木块实验有相似性吗？我们能类比这个实验解决这个问题吗？

（多媒体展示类比过程）

（学生回答等差数列通项公式的证明过程，由教师将学生回答的内容板书，师生共同总结出需注意之处。）

（之后老师继续板书数学归纳法证题时的两个步骤）

师：所谓的数学归纳法证题有两个步骤：（1）证明当n取第一个值时结论成立。即验证P（

）成立；（2）假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论正确，即由P（K）正确→P（K+1）正确；由（1）和（2）就可断定命题对于从

开始的所有自然数n都成立。

师：同学们，是不是证明时，这两个步骤缺一不可呢？为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立呢？（学生讨论，请回答）

生：这个证明跟刚才的实验是一个道理。第一步先证明了P(1)为真；第二步证明

“P(k)为真，则P(k+1)也是真”

这个命题正确。由这两步可知，对任意的n都是成立的。

师：步骤（1）是验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程，是证明提的关键，它保证这样一个过程：

P（

）正确（验证）→P（

+1）正确→P（

+2）正确→……上述无穷链条一环扣一环，形象的说明了数学归纳法证明P（n）的正确性的过程。

（三）典例探究：

例.用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2

（在规范证明完本题之后，我再次加以强调，在第2步由n=k成立向n=k+1成立过渡的过程中，必须使用归纳假设，否则就不叫用数学归纳法证题，而且两个步骤缺一不可。为了加深对数学归纳法实质的理解，用投影展示两个不满足两个步骤的例子供学生辨析，进一步让学生加深对数学归纳法的透彻理解）

思考题：

（1）用数学归纳法证明：2462nn2n1时，下列推证是否正确，说出理由？

证明：假设nk时，等式成立

就是

2462kk2k1成立

那么2462k2k1k2k12k1=k1k11

2这就是说当nk1时等式成立，

所以nN*时等式成立. （2）用数学归纳法证明等差数列前n项和公式，证法如下：

当n=1时，

，显然成立

假设n=k时，公式成立，即

=k

+

d 当n=k+1时， =

（

）

所以，当n=k+1时成立。

（四）反馈练习

1.

用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式

是ana1qn1

2. 数列an中, a1＝1, an1（

）

an*(n∈N), an通项公式是什

1an么？用数学归纳法验证你的假设是否正确。

（请学生板演，并集体批改指正）

（五）总结归纳

1．本节课的主要内容是什么？

（本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，

它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉）

2.从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？

（六）作业设计

书后作业题选取