2.基本不等式优质课教学设计

基本不等式一、教学内容分析

abab（第一课时）

2《基本不等式》选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）的第三章《不等式》，也是继本章一元二次不等式与线性规划后的一个重要内容。在对基本不等式的证明中，渗透了综合法、分析法等证明方法。不仅从代数角度上证明基本不等式，还从几何直观上进行了证明。这培养了学生转化与化归、数形结合等思想。本节内容不仅是对上一节内容的深化，也为今后求解最值问题提供了新工具，为今后进一步学习绝对值不等式奠定了基础。

二、学情分析

对于高二的学生，已经学***面几何，解三角形，数列等知识，有一定观察分析、解决问题的能力。学生在此之前已经掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。在学习本节内容前尽管学生已经学习了函数的最值问题的解法，但学生对于用不等式（基本不等式）模型来解决最值问题，以及对基本不等式的几何解释还是存在一定的困难；从重要不等式到基本不等式，对于a、b的范围变化不好理解。在解决最值问题中，不会构造和为定值或者积为定值。另外，教材中对基本不等式的几何解释的探究，对于学生来说并不好理解，很难联想到线段与基本不等式联系起来。

三、设计思想

1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明以及其几何解释”为基本探究内容，让学生通过个人、小组等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标

1、知识与能力：理解掌握基本不等式以及其证明过程，并能运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；学会构造积（和）定值，从而求和（积）最值；掌握基本不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）；培养学生探究能力以及分析和解决问题的能力。

2、过程与方法：从生活背景出发，得到合理猜想，再进行严格证明，形成数学结论。从三个不同角度（代数、数列、几何）给出基本不等式的解释。注重数形结合思想，培养学生的思维能力。

3、情感态度与价值观：通过生活中实际问题，使学生认识到数学来源于生活。培养学生学会用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。

五、教学重点难点

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：用基本不等式求解最大和最小值。

六、教学过程设计

（一）生活中的数学

有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成，图（2）是一个矩形。

思考1：请根据图形确定的两个广告牌面积的大小关系。

思考2：能否用含有x、y的不等式把上述的不等关系表示出来？

【设计意图】生活实践中有许多数学问题，数学来源于生活，同时培养学生学会用数学的眼光去观察世界。学生容易得出两个广告牌的面积，并获得它们的大小关系，激发学生学习的兴趣。

思考3：图中x、y表示线段的长度，x>0，y>0不等式成立，是否可以推广到对任意的实数x、y，均成立？如果可以，请证明；如果不可以，请说明理由。

22结论：一般地，对于任意实数a,b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。此不等式称为重要不等式

思考4：如果x>0,y>0, 设xa,yb则由上面不等式可以得出什么结论？

【设计意图】调动学生学习的积极性，并且帮助学生回忆不等式证明的方法。

（二）讲授新知

1、基本不等式

ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab深化认识：ab为几何平均数，为算术平均数。

2如果a>0，b>0，那么ab代数角度解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

数列角度解释：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项。

2、基本不等式的证明

思考5：能否利用不等式的性质证明此不等式呢？

方法1：用作差法证明。

方法2：用分析法证明。

要证 abab ①

2只要证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③

要证③,只要证 ()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当ab时, ④中的等号成立。

【设计意图】以填空的形式出现在PPT上，让学生进行填空，加深对此证明方法的印象。

（三）深入探索，几何证明

从代数的角度我们证明了基本不等式，能不能从下面图形进一步理解基本不等式？

D A B O C E

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。

思考6：如何用a,b表示OD、CD？

OD、CD的大小关系？

利用ACDDCB，容易得到CDab，ODab

2生1：直角三角形中，斜边大于直角边。 生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高。 生3：在圆中，半径不小于半弦。

归纳：得到基本不等式的几何解释：半径不小于半弦。

【设计意图】将问题细化，因为不容易得到哪些线段时由ab表示出，步步引导学生能不能利用三角形相似得到相应线段的长。进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性。

（四）课堂练习，巩固新知

1、判断下列不等式是否恒成立。

a2b2ab

（1）2（2）ab2ab

12

cosxab（4）若a0,b0,则2

ba（3）若x0,则cosx12、设ba0,且ab1，则四个数,2ab,a2b2,b中最大的是(21A、bB、a2b2C、2abD、2)

3、已知a，b，c为任意的实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca。

4、a，b均为正数，证明不等式：ab222211ab

（五）例题讲解，加深认识

2例1、(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征，即

（1）两个正数积为定值，则和有最小值。若abp，则当且仅当ab时，ab有最小值2p。

（2）两个正数和为定值，则积有最大值。若abs，则当且仅当ab时，ab有最大值s2。

4（六）课堂小结，知识再认

1、重要不等式与基本不等式的内容。

22（1）ab2ab(a,bR),当且仅当ab时，等号成立。

（2）abab(a0,b0),当且仅当ab时，等号成立。

22、基本不等式的代数、数列、几何解释。

3、基本不等式的应用条件，一正、二定、三相等。

4、基本不等式的应用，证明不等式，求解最值。

（七）课后练习，能力提升

1、在下列函数中，最小值为2的是（　）1A、yx　B、y3x3x　x11C、ylgx(1x10)　D、ysinx(0x)lgxsinx2

2、设x,y满足x4y40,且x,y都是正数，则lgxlgy的最大值是（）A、40　　　　Ｂ、10　　　　C、4　　　　D、23、若x4,则函数yx

1(　　)x4A、有最大值-6　　B、有最小值6　　C、有最大值-2　　D、有最小值2

4、若0

) a＋ba＋bA.a>2>ab>b

B.b>ab>2>a

a＋ba＋bC.b>2>ab>a

D.b>a>2>ab

5、设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(

) A.6

B.42

C.26

D.8

【设计意图】及时巩固所学知识，加深对基本不等式的运用，进一步加深理解取得最值时的三个条件，以及构造条件运用基本不等式。

七、教学反思

在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，在本节课的学习中，应引导学生多角度认识基本不等式，并了解它的几何意义，充分渗透数形结合的思想方法。能在教师的引导下主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的主要方法——分析法。希望通过本节课的学习，学生能够用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，并注意一正二定三相等的限制条件。在教学过程中，应以学生为中心，而教师起主导作用，主导教学内容，以及教学的重难点。设计的教学过程应该是帮助学生学习，指导学生自主学习，培养学生的创新意识和创新能力。