2.基本不等式优秀教案板书设计

《基本不等式的应用》教学设计

攀枝花市第十二中学校

陈丽

【课程名称】基本不等式的应用 【教学内容分析】

本节课的选题抓住学生在学习不等式中的薄弱点—基本不等式，有针对性地进行探究，进一步的渗透转化与化归的数学思想。基本不等式是每年高考的热点，其主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。其中求最值问题，往往又在基本不等式的使用条件上设置一些障碍，旨在考察学生恒等变形及分析问题、解决问题的的能力。本节为第二课时，重点加深基本不等式的应用，通过学生探究，教师的引导构建出满足运用基本不等式的条件，解决求给定条件的最值问题。

【学情分析】

本节课是第二课时，在认知结构上学生已经学习了基本不等式的相关知识，并会直接利用基本不等式解决实际问题，但在基本不等式的灵活使用上有所欠缺；在能力方面，已初步具有分析问题和解决问题的能力，但在问题解决中所蕴含的数学思想还需进一步的培养和提高；在情感态度方面，学生学习兴趣浓厚，表现欲强，但自主探究的意识有待进一步加强。

【教学目标解析】

知识与技能

1.复习和巩固基本不等式的相关知识，加深理解基本不等式，对其应用有一个系统的认识。

2.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题. 3.学生能恰当的进行变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件，求给定条件的最值问题。

过程与方法

：通过师生互动、生生讨论，学生主动地对基本不等式从不同角度进行探究，让学生体会研究数学问题中的转化与化归的数学思想，学会学习、学会探究。

情感态度与价值观：

通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，增强学生学习的信心，培养学生自主探究、团结协作的精神及严谨求真的科学思维品质，形成积极探索的学习风气。

【教学重点与难点】

重点：1.加深理解基本不等式及利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题. 2.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

难点：恰当的进行变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件，求给定条件的最值问题。

【课型】新课

【教学方法】启发诱导、自主探索、合作交流、讲练结合

【课程资源】多媒体教室、

PPT、导学案、几何画板

【教学流程及时间分配】

1

【教学过程】

教学环节

1．基本不等式ab≤教学内容

2(1)基本不等式成立的条件：__________. (2)等号成立的条件：当且仅当__________时取等号．

2．利用基本不等式求最值问题[来]已知a>0，b>0，则

(1)如果积ab是定值P，那么当且仅当__________时，

a＋b有最小值是__________(简记：积定和最小)．

(2)如果和a＋b是定值s，那么当且仅当__________时，ab有最大值是__________(简记：和定积最大)．

师生活动

让学生课前完成，课堂上以学生自述方式检测基础知识掌握情况。

设计意图

为今天的学习做好知识的储备。

a＋b知识梳理

判断正误，如果错了，错在哪里？

课前自主完成，课堂19上以随机抽问的形式(1)已知x＞0，求4x＋的最小值 （ ） (2)已知x0,求x的最值

（ ） x让学生自主的发现在

x利用基本不等式时的

11999

解：x0,则4x0,04x24x12解：x2x2易错点，教师再次引xxxxx

导学生概括利用基本

不等式求最值时应时课前热身 当且仅当4x9时，即x3时原式有最小值12原式有最小值为2x2刻注意的受限条件，发现问题

让学生从错误中走出（3）已知0

来。

(x1x)21解：

0x11x0x(1x)引导学生指出（2）不44

满足“一正——各项11当且仅当x1x时，即x时原式取得最大值为均为正”；（4）不满241x足“二定——积为定2x12（4）已知，求的最小值。 （ ）

值”（5）不满足“三相等——等号能否取解：x212x212x得”。

从简单的判断题形式出发，向学生直观的展示了解答过程，使学生形成学习上的认知冲突。

此环节的设置既回顾了基本不等式的使用条件，又针对错解存在的问题，提出今天将探究的主要问题。激发了学生学习的欲望，使学生由被动接受知识变为主动去探究知识，培养学生自学能力，符合新课改精神。

当x21,即x1时原式有最小值为2x2

2

教学环节

教学内容

4(5)已知x3,求x的最小值 （ ）

x师生活动

当问题找到了，自然地提出今天探究的问题：当不满足条件时，如何构建出满足运用基本不等式的条件求给定条件最值？

设计意图

为今天问题的提出做好铺垫。

知识梳理

4

解：x30,0x

44

x2x4xx

4当且仅当x时，即x2时

x

原式有最小值为4

问题：当不满足条件时，如何构建出满足运用基本不等式的条件求给定条件最值？

合作交流

解决问题

三种类型的探究

学生小组合作讨论交流，尝试解决问题，教师巡视、引导、帮助学生对问题进行解读，并搜集学生解决问题的方案和探究结果。然后分小组进行展示分享，对于存在问题的再由其他小组学生代表进行评价，最后教师再从知识方法上加以评价，帮助学生分析思维的过程，纠正易错点，展示标准解法，给以学法指导。

小组合作、讨论交流的方式让课堂动起来，达到学生会学乃至学会的目的，充分体现以学生为主体的新课标理念。学生通过解决问题，体验了数学的探索过程，培养了创造性的思维能力，领悟了重要的转化与化归的数学思想，完善了已有的知识结构，实现新知授课的意义。

3

教学环节

探究一：“不正”怎么办？

教学内容

1例1.已知x0,求f(x)x的最大值

x解：x0,x0,于是f(x)x师生活动

小组代表展示，若存在问题其他小组代表评价，教师针对“如何化正？不等号为什么反向？”进行补充、点评，给予学法指导。

设计意图

解决“项不正求和的最大值问题”

学法指导：采用添负号变为正数的方法.

探究二：“积不定”怎么办？

4

例2.若x>1，求f(x)=x＋的最小值

x－1

4

解：x1x10,0x1合作交流

444于是f(x)xx-112(x1)15

x1x1(x1)解决问题

4当且仅当x-1x-1时，即x3时函数取得最小值为5

111--x2(x)2x(x)(x)1当且仅当-x时，即x1时函数取得最大值为-2x10x小组代表展示，若存在问题其他小组代表评价，教师重点针对“为什么要通过添项求最值”进行补充、点评，给予学法指导。

解决“积不定求和的最小值问题”

学法指导：采用添项使乘积变成定值的方法

探究二：“和不定”怎么办？

例3：若

0

f(x)=x(1-2x)

的最大值.

2112x021于是f(x)x(12x)2x(1-2x)

2解：0x12x(12x)1228当且仅2x12x时，即x1函数取得最大值为81时42小组代表展示，教师重点针对“为什么要配系数求最值”进行点评，给予学法指导。

如没有学生用其他方法求解，则引导学生利用二次函数在给定区间求最值的方法求解。

4

解决“和不定求积的最大值问题”

展示方法探索的思维过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透化归与转化的数学思想。例3的“一题多解”，使学生不受思维定式的消极影响，同时为探究四的讲解做铺垫。

学法指导：采用配系数使和变成定值的方法

教学环节

教学内容

探究三：“等号取不到”怎么办？

师生活动

教师用几何画板画出函数图像，引导学生类比例3解法二的思维去思考，不难发现，当等号取不到时，可考虑函数的单调性。

设计意图

解决“等号取不到求最值问题”

几何画板将一个生疏的、不可认知的函数变为可认知、可交流的对象，对问题的解决开辟了新的路径，不仅提高了课堂效率，还渗透数形结合的思想。

运用归纳提升的成果，完成练习。强化基本不等式的认识和理解，掌握利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题，落实本节课的教学目标。其中1.2.3分别对应例1.例2.例3三种方法，4的难度稍大，是两种方法的综合，其目的在于满足不同层次学生的学习要求。让学生练习，有利于调动学生的主观能动性，突出学生的主体地位，同时让学生板演，规范了解题步骤，增强学生思维的严谨性，使学生高效吸收。

4例4：已知x3,求f(x)x的最小值

x4解：f(x)x在3，为增函数x当x3时，函数取得最小值为f(3)341333合作交流

解决问题

学以致用体验成功

学法指导：利用函数单调性求最值

课堂练习：

41.已知x＜0，求f(x)＝2＋＋x的最大值

x2.已知x2,求f(x)x1的最小值x2学生自主完成，并小组代表黑板板演。

教师针对学生实际情况做点评，重点评讲4.

3.设0x4.已知x

3，求函数f(x)4x(32x)的最大值

25，求函数y4x21的最大值。

44x5教师再现探究的四个例题，师生共同总结。

课堂小结

反思提高

知识方法：

创造条件使其满足“一正、二定、三相等”

类型① 化正型：例1 类型② 凑定型：例2、例3 类型③ 利用函数单调性型

：例4 学会“拼”、“凑”、

“添”等化归技巧的运用

通过再现四个例题，引导学生自己提炼知识方法，不断优化认知结构，完善知识体系，培养数学思维。体会转化与化归、数形结合、特殊到一般的数学思想，达到今后能“以一个有限的模型去驾驭无限的具体。”

数学思想：转化与化归、数形结合的数学思想

5

教学环节

教学内容

必做题：

1.函数yx师生活动

学生课后完成

设计意图

以作业的巩固性和发展性为出发点，必做题是本节课内容的一个反馈，选做题则是本节课知识的一个延伸，使不同层次的学生都可以获

2.求函数

课后作业

3.设15(x1)的最小值

x1的最值

得成功的喜悦，提高学习数学的热情。

,求函数的最小值

4.函数选做题：

在时取得最小值,求a的值

191.已知x0,y0,且1,求4xy的最小值xy

112.已知x0,y0，且x2y1,求的最小值xy

【板书设计】

特点：简洁明了、突出重点、提纲挈领。

基本不等式的应用

类型① 化正型：例1 添负号

类型② 凑定型：例2 添项

例3 配系数

类型③ 利用函数单调性型

例4 数学思想：转化与化归、数形结合

6

【教学评价】

课堂以“疑、探、练+个性化”的教学模式展开，让学生边思、边议、边评，让学生在学中乐，在乐中学，尽情享受解决问题的乐趣。整个课堂始终坚持以学生为主体的新课标理念，以基本不等式的应用为主线，在学生原有的认知基础上，通过师生和谐对话，使情感共鸣，通过学生合作探究，使学生的潜能、创造性最大限度的发挥，探究出求给定条件求最值的方法。让学生爱学、乐学、会学、学会，在轻松愉快的学习过程中很好的培养学生数学核心素养，渗透了化归与转化、数形结合的数学思想。

为了更好的落实教学目标，特编写导学案。导学案设置了课前预习任务，课中的学习过程，课后的巩固练习，为学生清晰的展现学习的主线，同时提供一份详细的学习笔记。教学过程中，教师恰当引导、调动学生的主动性，注重新旧知识间的联系，利用导学案、多媒体技术等教学手段，让学生直接参与到知识的发生、发展过程中来。尤其教师的学法指导，对在学生学习方法的提炼过程中起到画龙点睛的作用。多媒体的辅助教学提高了课堂效率，几何画板的应用使学生对陌生的函数慢慢的变得熟悉，对问题的解决开辟了新的路径。

教学过程中教师始终围绕教学目标进行评价，生生互动，在教学过程的各个环节中及时获得教学反馈的信息，以学生为主体及时调整教学措施，很好的突出重点，突破了难点，真正落实教学目标，取得较好的教学效果。

7

1