一 比较法ppt课件教学实录

第二讲

证明不等式的基本方法

课题：

不等式的证明方法之一：比较法

一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差和作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学生学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点及教学设计

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途

（三）教学设计要点

1.情境设计

用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学

生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。

2.教学内容的处理

（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。

（2）补充一组证明不等式的变式练习。

（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。

3.教学方法

独立探究，合作交流与教师引导相结合。

三．教具准备

多媒体、粉笔等

四．教学过程

(一)、新课学习：

1.作差比较法的依据：

abab0

abab0

abab0

作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论

2.作商比较法的原理和步骤：

a,bRa1baab1baab1b

ab作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

(二)、典型例题：

例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明：采用差值比较法：

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)ab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2

例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到并给出证明。

解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知a,b,m都是正数，并且a

bmb（因式分解）

a.若在上述溶液中bam.将这个事实抽象为数学问题，bm因为a0;又因为a,b,m都是正数，所以m(b-a)>0,b(b+m)>0.所以

即m(ba)

>0，

b(bm)ama>0 bmb

所以ama

bmbabba例3、已知a,bR,求证：abab.

证明：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0

差值比较法失效采用商值比较法：

a1,ab0,

baabbabaaabb(ab)()ababb

aab当ab时（）1baaab当ab0时，1,ab0,（）1bbaaab当ba0时，0<1,ab0,（）1bbaabbabba

故原不等式得证. 例4.

证明：若a>0，b>0求证ab(ab)abab2.

aabb(ab)ab2=aab2bba2a=()bab2

aaba0

；

故

()如果a>b>0,则1，b2baaba0；

故()若a>b>0，则0<1，b2bab2>1；

ab2>1；

a若b=a>0,则()bab2=1

综上，ab(ab)abab2.

(三)、巩固练习：

1．已知a>0,b>0,求证：答）

五、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. 六、布置作业：课本23页第1、2、3题。

七．板书设计

作差法依据

（见上面）

作差变形的方法：

作商法依据

（见上面）

比较法证明不等式：

作差、作商的基本步骤

ab≥ab（利用做差做商两种方法进行解ba结果大多数化成指数函（见上面）

{因式分解法、通分法、配数的形式，用指数函数的方法} 性质与单调性，比较最终最终比较差与0的大小关结果与1的大小关系

系