2.基本不等式新颖的课程导入教案

基本不等式

教材：人教A版高中数学选修4-5 一、教学目标

1．知识与技能:（1）借助几何图形的面积关系探索基本不等式，了解其来源及证明过程；（2）理解基本不等式的使用条件及代数解释和几何解释；（3）会利用基本不等式求简单的最值问题，熟练掌握基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可. 2. 过程与方法:探索并了解基本不等式的形成和证明过程；体会基本不等式的证明方法和简单应用. 3．情态与价值：通过生活实例的引入，激发学生的学习兴趣；引导学生结合图形探究基本不等式的几何解释，强化数形结合思想；借助例题1、2让学生领会基本不等式在解决最值中的作用，提升解决问题的能力. 二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.

三、课型：新授课

四、教学过程：

1.实例引入：

（1）某天，陈老师去叠南市场买水果，挑了一只西瓜，结账时老板拿来一台天平，陈老师发现天平两臂长不相等，这时老板说：“我将西瓜放在左右托盘各称一次，取两次称量值的平均数也一样嘛！”假设西瓜的真实重量为G，而两次所称重量分别为a、b，请问：如果按老板的方法结账，陈老师是赚了还是亏了？ab引出思考：ab与的大小关系？

2（2）如右图，第24届国际数学家大会会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，图案借助渐变色产生立体效果，红色的“风车”结构代表着中国人民热情好客.提问：你能从“弦图”中发现哪些相等和不等关系呢？

2.探究不等式：

探究：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为a,b，则正方形的边长为a2b2．故4个直角三角形的面积之和S12ab，正方形ABCD的面积S2a2b2．通过几何画板动态演示，可知S2S1，即a2b22ab．当EFGH四点重合（ab）时，有S2S1 ,即ab的证明过程；

2a2b22ab

22重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时等号成立.

1

22证明：（作差法）a2b22ab(ab)20，当且仅当ab时等号成立.故ab2ab

不等式变形：

问：如果a0,b0，用a和b分别代替a、b，可得到什么结论？

替代

化简

222222重要不等式

ab2ab

ab2ab

ab2ab

变形

ab2aba0,b0

23.得出结论，多角度证明：

abab，当且仅当ab时等号成立.

（1）基本不等式：若a0,b0,则2 称ab为a,b的几何平均数；称ab为a,b的算术平均数

2问：基本不等式与重要不等式的适用范围与等号成立条件有何异同？

两个不等式当且仅当ab时等号成立；其中重要不等式对任意a、bR成立，基本不等式对a0,b0成立. 代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正等比中项.

（2）证明不等式：（引导学生从代数和几何角度证明基本不等式）

abab2ab法1：ab22ab220，abab,当且仅当ab时取等号

2abab,只要证ab2ab,只要证ab2ab0，即证法2：要证2ab0,显然成2立，当且仅当ab时取等号. 法3：（几何法）如图：AB为圆O的直径，C为圆上除AB外任意一点，ADa,BDb连结CA、CB，过C作CDAB于D,设 A根据射影定理可得：CDADBDab,由于RtCOD中斜边CO直角abab，当且仅当点D与圆心O重合，即ab时等号成立．

24.应用提升：

例1：已知xy＝4，且x>0，y>0，求x＋y的最小值；

CaODbB边CD，故E例2：若x＋y＝1，且x，y都是正数，求（1）xy的最大值；（2）11的最大值. xy5.小结：（1）重要不等式：若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

（2）基本不等式：若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

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（3）对于x0,y0，若xyp（定值）,则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2 若xys（定值）,则当且仅当ab时，xy有最大值．

4 （4）使用基本不等式求最值的三个条件：

“一正，二定，三相等”

6.布置作业：书本P100 习题3.4 A组1、2、4；

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