探究与发现 组合数的两个性质教学实录与评析

排列组合常用解题技巧

1

相邻问题捆绑法

1.

A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（

）

A、60种

B、48种

C、36种

D、24种

2.

有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有

种．

3.

7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法

4.

8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法

5.

5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法

2 相离问题插空法

1.

七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是

2.

排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法

3.

5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法

4.

4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种

5.

马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种

3 定序问题缩倍法

1.

A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果

B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有

2.

6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

3.

4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法

4.

5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况

4 分排问题用“直排法”

1. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

2. 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法

3. 7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种

5 可重复的排列求幂法

1. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法

2. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有

种；

3. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法

6 名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法)

1.

10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

2.

某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共

种

3.

10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分法

；每人至少两个

4.

10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法?

7 分组问题

(1) 非均匀分组：是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组

1. 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？

(1) 分成三组，分别为1人、2人、4人；

(2) 选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人。

(2)均匀分组:指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

1. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？

记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察。如下表：

选3人

a b c d e f a b c d e g ……

2. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？

记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、h、i、j写出一些组来考察，如下表：

选2个

a b a b c d c d e f e f 再选2 c d e f a b e f a b c d 又选2个

e f c d e f a b c d a b 剩下四个

g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j g h i j

分组方法数

再选3人

d e f a b c d e g a b c ……

分组方法种数

这两种只能

算一种分法

这两种只能

算一种分法

……

3. 把6个不同苹果平均分成三堆，一共有

种分法. 4. 把6个不同的苹果分成4堆，一共有

种分法. 5. 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

6.

将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，

有多少分法？

(3)编号分组

①

非均匀编号分组

1. 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？

2. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转

入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安

排方案种数为______ ②

均匀(部分均匀)编号分组

1. 有5本不同的书全部分给3人，每人至少一本，有多少种不同的分法？

2. 把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有

种分法. 3. 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数

4. 名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

5. 本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

6. 有6名同学，求下列情况下的分配方法数：

①

分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；

②

分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；

③

分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；

④

平均分成三组进行排球训练。

8

特殊元素（位置）的“优先安排法”

1.

用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有

。

2.

1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排

种．

3.

乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余

7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有

种. 4.

8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法

5.

7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法

9 环排问题直排法

原理：如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则mm对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取出m个元素的排成一排的排列数为An个，所以mNAn，所mAn以N．

mmAn即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N．

mnAnn!(n1)!

n个元素的环形排列数为Nnn1.

8人围桌而坐，共有多少种坐法?

2.

6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

10

“至少”“至多”问题：正难则反——排除法

1. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙

型电视机各一台，则不同的取法共有

2. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有

种．

3. 100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

排列组合强化练习题1 1. 7个人并排站成一排

(1) 如果甲必须站在中间，有__________________种排法.

(2) 如果甲、乙两人必须站在两端，有_____________________种排法. 2. 用0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字的四位偶数_________________个. 3. 四男三女排成一排，(1) 三个女的要相邻，有________种排法;

(2) 女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有___________种. 4. 四男三女排成一排，(1) 女同学互不相邻，有____________种排法.

(2) 男同学互不相邻，女同学也互不相邻，有____________种排法. 5.

8人排成一排，其中甲、乙两人不排在一起，有______________________种排法. 6.

18名同学，(1)平均分成三组，有____________种分法.

(2)平均分给数、理、

化小

组有___________种分法.

(3)分配给化学小组7人，物理小组6人，数学小组5人，有

__________种分法.

(4)分给数、理、化小组，其中一个组为5人，一个组为6人，

一

个组为7人，有_________种分法. 8. 某班上午要上语文、数学、体育和英语，又体育教师因故不能上第一节和第四节，

则不同的排课方案有_____种. 9. 从5位女同学，6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务，有____________________种选法. 10. 从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么

(1) 甲一定当选，共有___________种选法；

(2) 甲一定不入选，共有_________种选法.

(3) 甲、乙二人至少有一人当选，共有_____________种选法. 11. 将5本不同的数学书，4本不同的物理，3本不同的化学书排成一排，

(1) 各类书必须排成一起，问有________________________种排法.

(2) 化学书不全排在一起，问有________________________种排法.

(3)化学书每两本都不相邻，问有________________种排法. 12. 有男女售票员各4人，被分配在四辆公共汽车上，要求每辆车上男、女各1人，则有________________种分法. 13. 四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男

孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数，则有____________

种站法.

排列组合强化练习题2

1．某年全国足球甲级联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

2．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？

3．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？

4．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

5．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

6．7位同学站成一排

（1）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（2）甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

(4）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

（5）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

(6）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起

（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

（8）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

7.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

8．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：

（1）男女相间；

（2）女生按指定顺序排列

9．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格

子颜色不同，则不同的涂色方法共有

种

10．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多

选一门，学校规定每位同学选修4门，共有

种不同选修方案。

11．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（

）

A．1440种

B．960种

C．720种

D．480种

12．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有

__________

种．（用数字作答）

13．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（

）

A．40种

B．60种

C．100种

D．120种

14.

安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有_____

种.

15．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（

）

（A）288个

（B）240个

（C）144个

（D）126个

16．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有

_.

17．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有

．