本章小结教案和课堂实录

教学设计

空间中的垂直关系

沈阳市第二十二中学

许月敏

“空间中的垂直关系”教学设计

授课教师：许月敏 学校：沈阳市第二十二中学

教学背景分析

教学内容分析：

（一）内容

1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的判定定理；3. 直线与平面垂直的性质

（二）内容解析

本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和性质以及判定定理两部分. 直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线，判定定理的教学，尽管新课程在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

学情分析及教学问题诊断：

（一）

学情分析

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学***面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

（二）教学问题诊断

1.如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是由线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲还比较困难.因此，

在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在观察动画的演示过程中体会直线与平面垂直定义的合理性. 2.用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这对于学生来说又是一个难题.因此，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，并且引导学生通过动手操作、摆出反例模型，然后借助动画加深对定理的两个关键条“双垂直”和“相交”的理解和确认. 教学方式：

以问题为导向，采用启发式与试验探究式相结合的教学方式．

在启发教学过程中，以问题引导学生思维.教学设计突出问题链的设计，教学过程中，随着学生思维的发展，问题设置层层递进，环环相扣，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高.尝试通过试验的方法进行立体几何的教学.本节课立足教材，引导学生通过直观感知、操作确认得出数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中. 教学手段： 多媒体辅助教学

目标与目标解析

（一）教学目标

1.理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质及判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用. 2.通过对定义和判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力. 3.通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯.

（二）教学重点

操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理的过程及初步应用. （三）教学难点

探究、归纳直线与平面垂直的的定义和性质及判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想及初步应用.

教学流程示意

教学阶段

教师活动

问题1：

直线与直线有哪些位置关系。

问题2： 【设计意图】借助学生已有的生活经验和知识水平引出课题，自然生动，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了联系生活

直观感知

数学生活化.

观察图片，将图片中的实物抽象为几何图形，直观感知直线与平面的垂直. 发挥想象，构思意境，进一步体会直线与平面的垂直. 

观察思考

问题3：（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地

动画演示

揭示定义

面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？

引导学生观察直立于广场上的旗杆与它在地面影子的关系，让学生自然构建直线与平面垂师生活动

通过动手实验总结空间直线垂直定义

【设计意图】借助多媒体的动态演示过程构建直线与平面直的定义. 垂直的定义，可以帮助学生建立对定义的完整表象，既真抽象概括

问题4：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直．记作：l.学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．同时给出直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面．直线面垂直的记法与画法．

线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

辨析：下列命题是否正确，为什么？

如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线．

引导学生主动思考辨析，再通过学生小组合作，利用现有工具摆出反

【设计意图】通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概定义辨析

深化理解



观察猜想

问题5三角形折纸实验。

念的本质属性．使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化. 例模型，提高学生动手能力，和小组探究意识.

引导学生观察思考，AA给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面BD图1CB图2DC垂直．

试验探究

操作确认

探究试验：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）

三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）. 【设计意图】1.通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． “线不在多，相交则行”

用符号语言表示为：

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经

过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，图形语言：

再利用多媒体演示翻折

讲练结合

应用提高

【设计意图】引导学生根据直观感知及已有知识经验，进过程，增强几何直观性．

行合情推理，获得判定定理，并体会将空间问题平面化，无限问题有限化的转化思想. 典例精析

教师引导，学生解例1.

P是平面ABCD外一点，O是AC与BD的答，并分享思维过程、展交点，PA=PC,PB=PD，求证PO⊥平面ABCD 示解答过程，教师给予及

P P

A

D O

B

C 时评价和纠正.

例2.菱形折纸问题。探究对角线是否垂直

变式引申：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?

【设计意图】进一步巩固对直线与平面垂直的和判定定理的简单应用.

总结提问：

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思

想？

总结提高

画龙点睛

线线垂直线面垂直的定义（任意直线）

线面垂直的判定定理（两相交直线）

b线面垂直学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。

如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．

体现将空间问题转化为平面问题的转化思想

【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，优化重组认识结构，并鼓励学生多总结，多反思.

本节课在教师的引导下，学生认真参与、积极探索，学习热情较高．通过学习理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用.在效果评价

抽象概括和观察猜想能力的提高等方面都有一定的进步，达到了本课教学目标．

本节课教学设计的特色

（1）

体现数学生活化和数学的文化意境

本节课从生活实例出发，借助学生已有的生活经验和知识水平引出课题，使教材生动、自然而亲切，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学生活化，生活离不开数学，数学是有用的. 通过古诗词的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵，增加了学生的学习兴趣，更值得强调的是，它能够帮助学生克服认知上的困难.结合高中生的实际情况，在高中数学课堂中融入中国古代文学，应该能够

b

提高学生的认知水平. （2）

关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则

学生是学习的主体，作为教师只有关注学生思维才能更好的起到主导作用．本课中从对生活实例的观察到学生思考举例引出课题；从“立竿见影”的动态演示到提炼定义；从跨栏架、简易木架猜想定理，到折纸试验学生操作确认定理等等过程，都想学生传达一个信息：我们的课堂是生动的、有趣的，充满了民主、平等和关爱.整节课都是以学生为中心，教师扮演的是组织者、引导者和参与者的角色，让学生真正成为了课堂的主人. （3）充分运用构建主义的思想

构建主义认为，知识的获得不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义构建的方式而获得的.因此，在教学过程的设计上，更加注重学生的探索过程，充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是将知识强加给学生.本节课的教学遵循新课标要求，立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.