2.2.3 两条直线的位置关系教学设计内容推荐

课

题：7.3两条直线的位置关系（一）平行与

教学目的：

1．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

教学重点：两条直线平行和垂直的条件

教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞直线名称

点斜式

斜截式

已知条件

直线方程

使用范围

示意图

P1(x1,y1),k

yy1k(xx1)

k，b

k存在

k存在

ykxb

(x1,y1)两点式

（x2,y2)

截距式

一般式

yy1xx1

x1x2,y1y2

y2y1x2x1xy1

ab

a,b

A、B、CR

a0,b0

A2B20

AxByC0

二、讲解新课：

1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直

2．斜率存在时两直线的平行与垂直．

王新敞设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是：

三人行，必有我师

l1：yk1xb1；

l2：yk2xb2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征

yl1⑴两条直线平行(不重合)的情形．

l2如果l1//l2，那么它们的倾斜角相等：12，∴王新敞tan1tan2．即k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么12Oxtan1tan2．由于0°≤1＜180°，

0°≤2＜180°，∴12．∵两直线不重合，∴l1//l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2k1=k2且b1b2

王新敞要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

思考1：已知直线l1、l2的方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)

求证：l1∥l2的充要条件是A1B1C1

A2B2C2王新敞⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k21．

yyyl2l12甲l21xl11Ol1xOl212x2O乙丙三人行，必有我师

用倾斜角的关系推导：如果l1l2，这时12，否则两直线平行设王新敞12，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

19002．因为l1和l2的斜率为k1和k2，即1900，所以200

王新敞tan1tan(9002)11，即k1或k1k21

tan2k2王新敞反过来，如果k11或k1k2119002l1l2．

k2两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

l1l2k11k1k21

k2王新敞用向量关系推导：设直线l1和l2的斜率分别是k1和k2，则直线l1有方向向量a(1,k1)，直线l2有方向向量b(1,k2)，根据平面向量的有关知识，有

abab011k1k20

即l1l2k1k21

所以，如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k21．

思考2：已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1xB1yC10，

l2：A2xB2yC20，则l1l2A1A2B1B20

王新敞三、讲解范例：

例1

两条直线l1：2x4y70

，

l2：x2y50．

求证：l1∥l2

三人行，必有我师

证法一：因为l1：y1715x，l2：yx

2422所以k1=k2且b1b2，∴l1//l2．

证法二:∵247，∴l1//l2

125例2

求过点A(1,4)且与直线2x3y50平行的直线方程．

解一：已知直线的斜率为率也是2，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜32

3王新敞根据点斜式，得到所求直线的方程是y4

即

2x3y100．

2(x1)

3解二：设与直线2x3y50平行的直线l的方程为

2x3y0(5)，

∵

l经过点A(1,4)，∴

213(4)0，解之得10

∴

所求直线方程为2x3y100．

注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；

②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBy0(C)，其中待定（直线系）

王新敞例3求与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为线的方程．

5的直6解：设直线的方程为2x3y0(5)，令x0，则在y轴上的截距为b3；令y0，则在x轴上的截距为a2，

三人行，必有我师

由ab235得1，∴所求直线方程为2x3y10．

6例4

已知直线(a2)x(1a)y30与(a1)x(2a3)y20互相垂直，求a的值．

解

：

∵A1a2，A2a1，B11a，B22a3且两直线互相垂直

∴(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解之得a1

王新敞注意：若用斜率来解，则需讨论

王新敞例5

求过点A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程．

分析：一般地，由于与直线AxByC0垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为BxAy0，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）

解：设与直线2xy100垂足的直线方程为x2y0

∵直线l经过点A(2,1)，∴2210，解得0

王新敞

故所求的方程为x2y0

王新敞四、课堂练习：

1．求使直线x2ay1和2x2ay1平行的实数a的取值。（答案：a0）

2．当a为何实数时，两直线xay2a2和axya1平行？

（

答案：a＝1）

王新敞3．求直线Ax2y10和直线6x4yC0平行的条件．

分析：∵l1∥l2

∴A21

∴平行的条件是A3且C2

64C王新敞4．已知直线l1：xay2a20，l2：axy1a0

王新敞

(ⅰ)若l1∥l2，试求a的值；(ⅱ) 若l1⊥l2，试求a的值

王新敞三人行，必有我师

五、小结

：1．本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解

王新敞

2．填表：

两直线方程

重合

平行

限制条件

l1：yk1xb1

l2：yk2xb2

k1、k2都存在

l1：A1xB1yC10

l2：A2xB2yC20

六、课后作业：

A1B1C10

A2B2C20

王新敞七、板书设计（略）

王新敞八、课后记：

王新敞

三人行，必有我师