2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率第一课时教学实录

第三章

§3.1.1 直线的倾斜角与斜率

一、考纲要求

1、学习目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系. 过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

2、学习重、难点

学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围. 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围. 二、自主学习

阅读教材P82-86完成下面问题并填空

知识点一：直线的倾斜角

【提出问题】

在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1: 直线l的位置能够确定吗？

问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？

问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？

【导入新知】

1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准, 叫做0直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定0. ．．．2.范围：倾斜角的取值范围是 .特别：当 时，称直线l与x轴垂直. 3.倾斜角与直线形状的关系

倾00

斜角

00900

900

9001800

直

线

知识点二：直线的斜率

【提出问题】

日常生活中，常用坡度（坡度=升高量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”前进量32

22比较，前者更陡一些，因为坡度>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？

问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

【导入新知】

1.定义：一条直线的倾斜角 (≠90°)的 值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k = . ①当直线l与x轴平行或重合时, = , k = ; ②当直线l与x轴垂直时, = , k . 2. 直线的斜率公式: ①已知直线的倾斜角,则k= ②经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线：

若x1≠x2，则直线P1P2 的斜率存在，k= 若x1＝x2，则直线P1P2的斜率 3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破

例1⑴若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线的倾斜角为（ ）

000000A.

30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120

0⑵下列说法中，正确的是（ ）

A.直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan

B. 直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为

C.若直线的倾斜角为，则sin0

D.任意直线都有倾斜角，且900时，斜率为tan

变式训练

1. 直线l经过第二、四象限，则此直线l的倾斜角范围是（ ）

A.

[0,90) B. [90,180) C. (90,180) D. (0,180)

2.设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，000000000则直线l1的倾斜角为（ ）

A. 450 B. 1350 C. 1350

D.当001350时为450，当13501800时为1350

例2 ⑴已知过两点A(4,y),B(2,3)的直线的倾斜角为1350，则y ⑵已知过A(3,1),B(m,2)的直线的斜率为1，则m的值为 ⑶过点P(2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 变式训练

3.若直线过点(1,2),(4,23)，则此直线的倾斜角是（ ）

A. 300 B. 450 C. 600 D. 900

例3 已知实数x,y满足y2x8，且2x3，求

变式训练

4.点M(x,y)在函数y2x8的图像上，当x[2,5]时，求

四、考点巩固

1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ）

A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。

B. 倾斜角为135的直线的斜率为1. C.若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan

D.直线斜率的取值范围是(,)

2..如图，图中的直线l1、l2、l3、的斜率分别为k1, k2 ,k3,则( ) 0y的最大值与最小值. xy1的取值范围. x1yl2l3xl1

A. k1< k2

3.、直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ ）

A、45° B、135° C、45°或135° D、－45°

4、若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ ）

A、1 B、－1 C、0 D、7 5、若经过A(4,y),B(2,3)的直线的斜率为1，则y（ ）

A、33 B、 C、-1 D、1 226、若经过A(2,1),B(1,m2)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值的范围是（

）

A、m1 B、m1 C、1m1 D、m1或m<-1

7.已知直线l过点A(1,2),B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围

8、已知A(3,3),B(4,2),C(0,2), ⑴求直线AB和AC的斜率

⑵若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

一．考纲要求

1.学习目标: 知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。

过程与方法：通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系，实现用代数方法解决几何问题

情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

2.学习重、难点

学习重点:两条直线平行和垂直的判定，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围

二、自主学习

阅读教材P86-89完成下面问题并填空

知识点一：两条直线平行

【提出问题】

平面几何中，两条直线平行同位角相等。

问题1.在平面直角坐标系中，若l1

问题2.若l1

问题3.若l1,l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？

【导入新知】

对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，有l1知识点二：两条直线垂直

【提出问题】

已知两条直线l1,l2，若l1的倾斜角为30，l1l2.

问题1.上述问题中，l1,l2的斜率是多少？

问题2. 上述问题中两直线l1,l2的斜率有何关系？

问题3.若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为-1吗？

0l2，则它们的倾斜角1与2有什麽关系？

l2，则l1,l2的斜率相等吗？

l2

【导入新知】

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直，即l1l2.

。

三、考点突破

例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行。

⑴l1经过点A(2,1),B(3,5)，l2经过点C(3,3),D(8,7);

⑵l1经过点E(0,1),F(2,1)，l2经过点G(3,4),H(2,3);

⑶l1的倾斜角为

600，l2经过点M(1,3),N(2,23);

⑷l1平行于y轴，l2经过点P(0,2),Q(0,5).

变式训练

1.

试确定m的值，使过点A(m1,0),B(5,m)的直线与过点C(4,3),D(0,5)的直线平行.

例2 已知直线l1经过点A(3,a),B(a2,3),直线l2经过点C(2,3),D(1,a2),，如果l1l2.，求a的值

变式训练

2. 已知定点A(1,3),B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是 . 例3. 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点，若顺次连接A,B,C,D四点，试判断图形ABCD的形状.

变式训练

3.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标.

四、考点巩固

1.下列说法中正确的有（ ）

①若两条直线的斜率相等，则着两条直线平行；

②若l1l2，则k1k2；

③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；

④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行。

A.1个

B.2个

C. 3个

D.4个

22.直线l1,l2的斜率是方程x3x10的两根，则l1,l2的位置关系是（

）

A.平行

B. 重合

C.

相交但不垂直

D.垂直

3.以A(1,1),B(2,1),C(1,4)为顶点的三角形是（

）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 以A点为直角顶点的直角三角形

D. 以B点为直角顶点的直角三角形

4.已知点A(2,5),B(6,6)，点P在y轴上，且APB900，则点P的坐标为(

) A. (0,6)

B. (0,7)

C. (0,6)或(0,7)

D. (6,0)或(7,0)

5.

已知ABC中，A(0,3),B(2,1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为

. 6..经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直，则m的值是

7. 直线l1经过点A(m,1),B(3,4),直线l2经过点C(1,m),D(1,m1),，当l1时，分别求实数m的值。

8.当m为何值时，过两点A(1,1),B(2m1,m2)的直线：

⑴倾斜角为1350；

⑵与过两点(3,2),(0,7)的直线垂直；

⑶与过两点(2,3),(4,9)的直线平行？

2l2或l1l2

3.1.1倾斜角与斜率

自主学习

知识点一

问题1：提示：不能；问题2：无数条；问题3：倾斜程度不同；

导入新知

1. x轴正方向与直线l向上方向之间所形成的角；2. [00,1800)，900

3.省略

知识点二

问题1：提示：可以；问题2：可以；问题3：与倾斜角的正切值相等；

导入新知

1.

正切，

tan；00,k0;

900，不存在

2.

tan，y2y1，不存在

x2x13.

倾斜程度

三．考点突破

例1（1）D

(2)D 变式训练1.C

2.D 例2：（1）-5，（2）0，（3）1 变式训练

3.A 例3 最大值为2；最小值为变式训练

4. [,]

四、考点巩固

1. D

2.D

3.B

4.

B

5.

C

6.

C 7.当m1时，k(0,)(,0)；此时(0,90)(90,180)。

当m1时，斜率不存在，900。

8．（1）kAB（2）[,]

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

自主学习

知识点一

问题1：提示：相等；问题2：不一定，可能相等，也可能都不存在；问题3：不一定，可能平行也可能重合；

导入新知

00002. 3156315,kAC

731573k1k2

知识点二

问题1：提示：k1导入新知

-1，-1，k1k21

三、考点突破

例1（1）l1l2，（2）直线l1与直线l2重合，（3）直线l1与直线l2平行或重合，（4）l1l2

变式训练

1.m2

例2

a的值为5或-6 变式训练

2.(1,0)或(2,0)

例3

四边形ABCD为直角梯形

变式训练

3. D(10,6)

四、考点巩固

1. A

2.D

3.C

4. C

5.2;

6. 3,k23；问题2：k1k21；问题3：一定；

314

59

27. l1l2时，m的值为3；l1l2时，m的值为8.

⑴m

333或m=1

；

⑵

m或m=3

；

⑶m或m=1

224