小结第二课时教学设计

“杨辉三角”中的一些秘密

班级____姓名_____ 阅读材料：杨辉三角的历史

《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。

杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角”

，于是才有了“杨辉三角”的说法。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？

一:回顾杨辉三角

第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第8行_________________________________________ ……………………………..

我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

三:初探杨辉三角

研究角度一： 第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________ …………………………….. 第n+1行_______________________________________________________________________

归纳：用组合数表示杨辉三角：

11C10 C1012C2 C2 C213C30 C3 C32 C301234C4 C4 C4 C4 C4135C50 C5 C52 C5 C54 C501356

C6 C6 C62 C6 C64 C6 C6............012r1rn20Cn C C ... C C... C C1n-1n-1n-1n-1 n-1n1012rn10Cn Cn Cn ... C ... C Cn nn猜想：

结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_______________________________________________________________________

证明：

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

四:再探杨辉三角

研究角度二

第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现

__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

研究角度三

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1 提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现

__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

五:三探杨辉三角

1 1

1 1

2

1 1

3

3

1 1

4

6

4

1 1

5

10

10

5

1 1

6

15

20

15

6

1 1

7

21

35

35

21

7

1 1

8

28

56

70

56

28

8

1 1

9

36

84

126

126

84

36

9

1 1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1 1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1 1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？

__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

七:课后探索

1查资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。

2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？