信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学设计及教案分析

2.4 正

态

分

布

全椒县城东中学：张嘎

实践表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．而正态分布密度函数的推导是十分困难的，所以教科书采用高尔顿试验的方法引出正态分布密度曲线，目的是为了帮助学生理解正态分布曲线的来源，教学中应充分利用计算机模拟的方式进行试验，本课件利用Geogebra动态几何画板结合正态分布曲线以及正态分布随机变量的概率的特征进行了逐一演示，让学生深刻体会到参数对图象的影响，并充分体会到数形结合的思想。也使学生对本节的知识来源有个直观的印象，加深对本节所授知识的理解.

一、学习目标：

1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用；

2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；

3.随机变量在特殊区间上的概率

（3σ原则）；

二、教学重点、难点

重点：1、正态分布密度曲线的特点；

2、正态分布密度曲线所表示的意义；

难点：随机变量在特殊区间上的概率

（3σ原则）的应用

三、教学过程

（一）创设情境

你见过高尔顿钉板吗?这个试验英国科学家高尔顿设计的，具体如下：在一块木板上，钉上n+1层钉子，第一层2个钉子，第二层3个钉子，......,第n+1层n+2个钉子，这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多。自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中小球碰到钉子时，从左边落下的概率是P，从右边落下的概率是1-P，碰到下一排也是如此。最后落入底板中的某个球槽中。如右图

1

对应的频率分布直方图

样本容量增大（增加球槽）时

阅读材料：正态分布非常熟悉。这个钟型的分布曲线不但形状优雅，其密度函数写成数学表达式也非常具有数学的美感。其标准化后的概率密度函数更加的简洁漂亮。正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。德国人把对科学的敬仰写在他们的货比上，德国硬币与10马克的纸币上都留有高斯的头像和正态密度曲线。高斯对于正态分布的历史地位的确立是起到了决定性的作用。

2

（二）正态曲线定义 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲1线一般可用下面函数的图象

表示或近似表示：,(x)e2(x)222,x(,)

式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线

（三）探究μ，σ对正态曲线的影响

3

（四）给出结论：

正态曲线有以下特点：

（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

（3）曲线在x=μ处达到峰值； （4）曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定. （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ越小，曲线越“瘦高”反之越“矮胖”. （五）正态分布的概念 若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ的正态分布,简记为X～N( μ，σ²).这里的两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值,σ是随机变量X的标准差,且σ>0. 即P(aXb),(x)dx

，如右图

ab

（六）动态验证

①

P(aXb)2.1,(x)dx0.9 ②P(aX5.3b),(x)dx0.64

1.84.4

4

（七）随机变量在特殊区间上的概率

（1）一倍σ原则

①P(X)1,(x)dx0.683 ②P(X)2,(x)dx0.683

44

（2）二倍σ原则

①P(2X2)3(x)dx0.954

②P(2X2)0.5(x)dx0.954

33.5（3）三倍σ原则

P(3X3)(x)dx0.997

66

5

（八）归纳总结

（九）3σ原则 从前面内容可以看到，正态总体在（μ-2σ，μ+2σ）内取值的概率有 95.4%，之外取值的概率只有4.6%，在（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概

率有97.7%，之外取值的概率只有0.3%.由于之外的这些概率值很小（一般不超过5%），常称这些情况发生为小概率事件.通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。所以，在实际应

用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取(μ-3σ,μ+3σ)之

间的值，并简称之为3σ原则. 四、例题探究

例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）f(x)12ex22,x(,) （２）f(x)122e(x1)28,x(,)

例2、 在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ²)(σ＞0)，

若X在(0,2)内取值的概率为0.2， 求：(1)X在(0,4)内取值的概率； (2)P(X＞4)．

6

例3、

某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,10²)，

如果此年级共有1 000名学生，求： (1)成绩低于60分的约有多少人？ (2)成绩在80～90内的约有多少人？

五、课堂练习 1.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~N(100，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？ （ ）

A.（90,110] B.（95,125] C.（100,120] D.（105,115]

2.已知X~N(0，1)，则X在区间（-∞，-2）内取值的概率等于 （ ）

A. 0.9544 B. 0.0456 C. 0.9772 D. 0.0228 3.设离散型随机变量X~N(0，1)，则P（x≤0）=________ , P（-2

六、本课小结

7

七、布置作业

①本节限时训练

②思考题：

如右图是当σ取三个不同值σ₁、σ₂、σ₃的三种正态曲线N(0，σ²) 的图象，那么σ₁、σ₂、σ₃、0、1的大小关系是________________________.

八、教学反思 培养学生发现问题，解决问题的能力，充分体现合作力量的强大，并利用信息技术让学生从动态教学中感受到知识的形成，充分利用Geogebra动态几何画板结合正态分布曲线以及正态分布随机变量的概率的特征进行了逐一演示，让学生深刻体会到参数对图象的影响，并充分体会到数形结合的思想。也使学生对本节的知识来源有个直观的印象，加深对本节所授知识的理解。

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