三角形的外角和按角分类名师教学设计2

第课时

1.理解并掌握三角形一个外角和与它不相邻的两个内角之间的关系.

2.根据不同的方法对三角形进行分类.

通过说理的方法得出三角形内角和外角之间的关系.

培养学生乐于思考、勇于探索的科学精神.

【重点】

三角形内角和外角之间的关系.

【难点】

三角形的不同分类方法.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P106~107.

导入一:

如图所示,∠DAC,∠EBA,∠FCB分别是与△ABC有一个公共边的角,通过拼图的方式试一试,看看∠DAC+∠EBA+∠FCB的度数是多少.

[设计意图]

通过拼图的方式,帮助学生感知三角形的内角和外角之间存在一定的固定关系,进而激发学生的探索热情.

导入二:

课堂游戏: 下图中的黑三角是大三角形的一部分,大三角形中是不是存在直角?是否有钝角?是否是等腰三角形?

[设计意图]

通过猜想活动,启发学生的想象力,为进行三角形的分类做准备.

活动1

三角形的外角和

思路一

1.三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.

2.三角形外角和.

(1)如图所示,∠ACD与∠ACB有什么关系?∠ACD与∠A+∠B有什么关系? (∠ACD+∠ACB=180°,∠ACD=∠A+∠B.) (2)如图所示,∠ACD与∠A(或∠B)的大小有什么关系? (∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.) (3)对你的猜想进行说理.

总结: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.

思路二

问题1:如图,在△ABC中,分别度量∠A和∠B的大小,并且度量∠ACD的大小.

问题2:∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系?再画一个图形试一下!

【师生活动】

学生进行操作、探究、交流后,得到结论:∠ACD=∠A+∠B;教师引导学生用自己的语言总结三角形外角的这一性质.

结论:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

老师引导学生回顾三角形内角和定理的证明方法.

师:我们是否可以不加辅助线证明三角形外角的性质? 预设

生:用等量代换.

师:在证明三角形外角性质时,采用了等量转化,问题的思考点在等量减去等量差相等.

学生小组讨论,尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质,并进行汇报.教师根据学生汇报的情况有针对性地讲解并点名学生进行板演.

已知:△ABC中,D为BC延长线上一点.

求证:∠ACD=∠A+∠B.

证明:因为∠A+∠B+∠ACB=180°,

∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠A+∠B=180°-∠ACB, ∠ACD=180°-∠ACB, 所以∠ACD=∠A+∠B.

教师板书: 三角形外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.

[设计意图]

三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的,根据教材探究中的提示,学生能够发现它们之间的关系,学生能自己学会的教师就不必讲解,要充分调动学生的学习主动性,这也正是这里安排学生自学的目的所在.进一步提出要求,让学生用证明的方法去说明,培养学生的推理论证能力,同时更严谨地说明三角形外角的性质.

活动2

例题讲解

(教材第106页例2)如图所示,∠BCD=92°,∠A=27°,∠BED=44°.求:

(1)∠B的度数.

(2)∠BFD的度数.

解:(1)在△ABC中, 因为∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∠BCD=92°,∠A=27°(已知), 所以∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°.

(2)在△BEF中, 因为∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∠BED=44°(已知), ∠B=65°(已求), 所以∠BFD=44°+65°=109°.

追问:还有其他解法吗?试试看.

(提示:在△FDC中,∠D=∠BED-∠A=44°-27°=17°,∠CFD=180°-∠BCD-∠D=180°-92°-17°=71°,∠BFD=180°-71°=109°.) 活动3

三角形的分类

1.直角三角形、钝角三角形、锐角三角形.

(1)一个三角形的内角最多有几个直角,最多有几个钝角? (2)一个三角形能不能三个内角都是锐角? (3)一个三角形最多有一个内角是直角.因为假设它有两个内角是直角,那么这个三角形的内角和就大于180°了,这与三角形的内角和等于180°矛盾,所以一个三角形最多有一个内角是直角.同样,一个三角形最多有一个内角是钝角.一个三角形的三个内角有可能都是锐角.

我们把三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.

2.对三角形,按是否有相等的边可分为两类.对有相等边的情况,又可分为只有两边相等的和三边相等的两类.请你按边对三角形进行分类.

不等边三角形

三角形等腰三角形(腰与底不相等)

等腰三角形

等边三角形(三边相等)

3.对三角形是否可以按照角进行分类?

锐角三角形

三角形直角三角形

钝角三角形

[知识拓展]

在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角三角形都有锐角.

直角三角形两个锐角互余.

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.

3.三角形的不同分类方法

按照边分类按照角分类

1.(甘孜中考)如图所示,在△ABC中,∠B=40°,∠C=30°,延长BA至点D,则∠CAD的大小为

(

)

A.110°

B.80°

C.70°

D.60°

解析:根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.由三角形的外角性质得∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°.故选C.

2.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是

(

)

A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A

C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 解析:先根据∠1是△ACD的外角,故∠1>∠A,再根据∠2是△CDE的外角,故∠2>∠1,进而可得出结论.因为∠1是△ACD的外角,所以∠1>∠A;因为∠2是△CDE的外角,所以∠2>∠1,所以∠2>∠1>∠A.故选B.

3.如图所示,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=

度.

解析:因为∠1=∠3+(180°-∠2),所以∠3=∠1-(180°-∠2)=100°-(180°-140°)=60°.故填60.

4.如图所示,直线AD和BC相交于点O,AB∥CD,∠AOC=95°,∠B=50°,求∠A和∠D的度数.

解:因为∠AOC是△AOB的一个外角, 所以∠AOC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

因为∠AOC=95°,∠B=50°, 所以∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°.

因为AB∥CD, 所以∠D=∠A=45°(两直线平行,内错角相等).

第2课时

活动1

三角形的外角和

活动2

例题讲解

例题

活动3

三角形的分类

一、教材作业

【必做题】

教材第108页习题A组的第1,2题. 【选做题】

教材第108页习题B组的第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下图能说明∠1>∠2的是 (

)

2.已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是 (

) A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形或钝角三角形

3.(资阳中考)如图所示,已知AB∥CD,∠C=70°,∠F=30°,则∠A的度数为 (

) A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

4.一个承重架的结构如图所示,如果∠1=155°,那么∠2=

度.

5.如图所示,已知CE为△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E,试判断∠BAC与∠B的大小关系.

【能力提升】

6.锐角三角形的三个内角是∠A,∠B,∠C,如果α=∠A+∠B,β=∠B+∠C,γ=∠C+∠A,那么α,β,γ这三个角中

(

) B.有1个锐角

A.没有锐角

C.有2个锐角

D.有3个锐角

7.(恩施中考)如图所示,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的度数为 (

)

A.20°

B.30°

C.40°

D.70°

8.如图所示,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于

(

)

A.315°

B.270°

C.180°

D.135°

9.(南充中考)如图所示,点D在△ABC的边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE的大小是

度.

10.我们设计了一张帆布折椅,它的侧面如图所示,∠A=28°,∠ABC=64°,∠BCD=46°,∠D=12°,试求椅面AE和椅背DE的夹角∠AED的度数.

【拓展探究】

11.如图所示,l1∥l2,∠1=120°,∠2=100°,则∠3等于

(

)

A.20°

B.40°

C.50°

D.60°

12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁.爸爸见到他,高兴地对他说“来帮我一个忙:,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于140°才算合格.小明通过测量得∠A=90°,∠B=19°,∠C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸让小明解释这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你代小明分别说出不合格的理由.

(1)如图(1),连接AD并延长.

(2)如图(2),延长CD交AB于E.

(3)如图(3),连接BC.

【答案与解析】

1.C(解析:A.∠1=∠2,对顶角相等;B.∠1和∠2的大小不确定;C.∠1>∠2;D.不能确定.) 2.B(解析:一个外角为50°,所以与它相邻的内角的度数为130°,所以三角形为钝角三角形.) 3.C(解析:由AB∥CD易知∠FEB=∠C=70°.这样,根据∠FEB,∠F与∠A的关系,利用三角形的外角的性质即可求得∠A的度数.因为AB∥CD,∠C=70°,所以∠FEB=∠C=70°.因为∠F=30°,所以∠A=∠FEB-∠F=70°-30°=40°.) 4.65(解析:因为∠1=155°,∠2+90°=∠1,所以∠2=155°-90°=65°.) 5.解:∠BAC>∠B.理由如下:因为CE平分∠ACD,所以∠1=∠2.又因为∠BAC>∠1,所以∠BAC>∠2.因为∠2>∠B,所以∠BAC>∠B.

6.A(解析:根据三角形的外角性质及锐角三角形的性质作答.由于锐角三角形中三个内角都是锐角,而α,β,γ分别是其外角,根据三角形外角的性质,可知α,β,γ这三个角都是钝角.故选A.) 7.B(解析:延长ED交BC于点F,因为AB∥DE,所以∠BFE=∠B=70°,所以∠CFE=110°,因为∠CFE+∠BCD=∠CDE=140°,所以∠BCD=30°.故选B.)

8.B(解析:如图,因为∠1,∠2是△CDE的外角,所以∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,所以∠1+∠2=2∠C+(∠3+∠4)=3×90°=270°.故选B.)

9.60(解析:由∠A=80°,∠B=40°,根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得到∠ACD=∠B+∠A,然后利用角平分线的定义计算即可.因为∠ACD是△ABC的外角,所以∠ACD=∠A+∠B=120°,因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠ACD=60°. ) 10.解:如图所示,延长DE交AB于F,因为∠ABC=64°,∠BCD=46°,所以∠2=180°-∠ABC-∠BCD=180°-64°-46°=70°,所以∠1=∠2=70°,所以∠3=∠D+∠1=12°+70°=82°,所以∠AED=∠A+∠3=28°+82°=110°.

11.B(解析:先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点,利用两直线平行,同旁内角互补求出∠4的度数,再利用外角性质求解.如图所示,延长∠1和∠2的公共边交l1于一点,因为l1∥l2,∠1=120°,所以∠4=180°-∠1=180°-120°=60°,所以∠3=∠2-∠4=100°-60°=40°.)

12.解:(1)∠BDC=∠1+∠2=∠BAC+∠B+∠C=90°+19°+40°=149°≠140°,故不合格. (2)∠BDC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B=149°≠140°,故不合格. (3)因为∠1+∠2=180°-(90°+19°+40°),所以∠BDC=180°-(∠1+∠2)=149°≠140°,故不合格.

在三角形内角和的基础上探索三角形内角和外角的关系,知识难度较小,采取了学生自主完成、教师总结的策略.通过例题讲解,重点培养了学生说理的严密性和科学性.三角形的分类是本课时的难点,教师做了重点提示和引导.

对三角形的外角数量没有进行强调;例题讲解过程中对每一步的说理,可交给学生讨论完成,老师不必直接给出理由.

在例题的处理过程中,第(2)问的不同解法可以交给学生讨论完成;对三角形分类的不同方法的特点给予总结和评价;让学生体会三角形分类的基本要求的不重不漏.

练习(教材第107页) 1.解:∠C=∠DBC-∠A=112°-35°=77°.

2.解:因为与55°角相邻的内角度数为180°-55°=125°,所以该三角形是钝角三角形.

3.解:∠DAC+∠EBA+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)+(∠BAC+∠BCA)+(∠CAB+∠CBA)=(∠ABC+∠BCA +∠CAB)+(∠BAC+∠CBA+∠ACB)=180°+180°=360°.

习题(教材第108页) A组

1.解法1:因为∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=64°,∠C=55°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-64°-55°=61°.因为∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=×61°=30.5°,所以∠ADB=∠C+∠CAD=55°+30.5°=85.5°,∠ADC=∠B+∠BAD=64°+30.5°=94.5°.解法2:同解法1,得∠BAD=30.5°,则∠ADB=180°-∠B-∠

BAD=180°-64°-30.5°=85.5°,∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-55°-30.5°=94.5°.

2.解:设该外角的度数为x,则与它相邻的内角的度数为x,与它不相邻的一个内角度数为x.由题意得

x+

x=180°,所以x=144°,则

x=36°,

x=72°.又180°-36°-72°=72°,所以这三个内角的度数分别为36°,72°,72°.

3.解:因为∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,所以∠BAC+2∠B=180°.因为∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°,∠EAD=∠CAD,所以∠BAC+2∠EAD=180°,所以2∠B=2∠EAD,所以∠B=∠EAD,所以AD∥BC.

B组

1.解:能把原三角形分成两个直角三角形,不能把原三角形分成两个锐角三角形.因为折叠后有相邻两个角的关系是互补,和为180°的两个角中要么都是直角,要么一个是锐角,另一个是钝角,所以无论怎样折,都不能使这两个三角形均为锐角三角形.

2.解:∠1是△CFE的一个外角,∠2是△BLD的一个外角.因为∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,又∠1+∠2+∠A=180°,所以∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

有关三角形外角的计算

根据下列图形,分别求出图中的∠1的度数.

〔解析〕

根据图形中∠1的位置,判断∠1是三角形的内角还是外角,选择运用三角形的内角和定理和外角的性质进行解答.

解:(1)因为∠1+30°+60°=180°,所以∠1=180°-30°-60°=90°.

(2)因为120°=∠1+35°,所以∠1=120°-35°=85°.

(3)∠1=45°+50°=95°.