11.2 提公因式法教学设计实例

《因式分解——提公因式法》教学设计

临城镇中学 赵素娟

一、教学目标

1．理解因式分解的概念，因式分解与整式乘法的关系．

2．了解公因式的概念，能熟练运用提公因式法进行因式分解．

3．在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．

二、教学重难点

教学重点：会用提公因式法分解因式．

教学难点：如何确定公因式及提出公因式后的另外因式．

三、教学过程

（一）创设情境，引出问题

学校为了丰富我们的课外活动，打算在原操场两侧分别建一个网球场和篮球场，各场地长、宽如下图所示：

问题1：你能用几种方法表示扩大后的操场面积？

预设1：ma+mb+mc．

预设2：m（a+b+c）．

问题2：不同的表示方法之间有什么关系？

预设：ma+mb+mc= m（a+b+c）．

我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

问题3：如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？

预设：因式分解与整式乘法是方向相反的变形．

【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在思考、观察和探索的过程中，了解因式分解的概念，认识因式分解的基本属性——将和差化积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．

练习1：根据你对概念的理解，判断下列变形是不是因式分解．

（1）2m(m-n)=2m2-2mn；

（2）x2-2x+1=x（x-2）+1；

（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（4）4x2-4x+1=(2x-1)2；

（5）3a2+6a=3a（a+2）；

（6）m2-1+ n2=（m+1）（n-1）．

【设计意图】通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念，认识到因式分解是恒等变形．

（二）探索发现，推陈出新

观察多项式ma+mb+mc．

思考：这个多项式的各项有什么特点？

预设：它的各项都有一个公共的因式m．

我们把因式m

叫做这个多项式各项的公因式．

例1：找出下面多项式的公因式．

（1）4xy2+2x2y3；

（2）ax2+2ax-4ay．

练习2：写出下列多项式各项的公因式．

（1）4ax-8ay；

（2）5y3+20y2；

（3）a2b-2ab2+ab；

（4）-4a3b2-6a2b+2ab；

（5）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）．

归纳方法：如何确定多项式各项的公因式？

1．定系数：找多项式各项系数的最大公约数．

2．定字母：找多项式各项相同的字母．

3．定指数：相同字母的最低的次数．

【设计意图】通过学生观察、思考和总结归纳，让学生了解公因式的概念，进一步了解因式分解与整式乘法的关系，了解因式分解的理论依据，为提公因式法分解因式做基础，初步理解提公因式法分解因式．

（三）例题展示，规范解题

因式分解：27x3-9x2y2．

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

例2：把2x2-8xy+x因式分解．

解：原式=x·2x-x·8y+x·1 =x（2x-8y+1）．

【设计意图】通过例题的教学，引导学生：（1）了解提公因式法分解因式的基本步骤；（2）积累找公因式的经验；（3）知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；（4）用公因式法分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．

练习3：（1）24a3m-18a2m2；

（2）5y2-15y+5；

（3）28x3-14x2+7x．

例3：因式分解．

【设计意图】例3是对于首项是带有负号的多项式分解因式，多项式第一项的系数是负数，通常先提出“-”号，且括号内各项都要变号．

练习4：（1）-7ab+49ab2c；

（2）-6ax2+9axy-3a；

（3）-2a3b2-ab3c+3abc．

例4：把多项式 2a（b+c）-3（b+c）分解因式．

【设计意图】例4的公因式是多项式，通过这一例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质认识．

练习5：（1）4m（n-3）+2（n-3）；

（2）2a（y-x）-3b（x-y）；

（3）a（a2+b2）-c（a2+b2）．

（四）课时小结，知识分享

通过这节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！

1．什么叫因式分解？

2．确定公因式的方法？

3．提公因式法分解因式步骤？

4．提公因式法因式分解中的四个注意？

【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识间的练习，促进学生数学思维品质的优化．

（五）作业

基础检测：

1．因式分解 （1）；

（2）－12a2b+24ab2；

（3）xy－x2y2－x3y3；

（4）．

2．已知a－b＝3，ab＝－1，求a2b－ab2．

3．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值．

4．先分解因式，再求值：

4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3．

能力提升

1．因式分解

（1）；

（2）（3）（4）2．先化简，再求值

；

； ．

，其中，x=. 3．已知方程组

，求代数式的值．

《提公因式法分解因式》教学反思

本节课主要内容是运用提公因式法进行因式分解，那么怎么实施教学呢？如果直接就给同学们讲把前面在整式的乘法中学习到的单项式与多项式的乘法反过来运用就形成了因式分解的提公因式法，然后就是反复的运用、反复的操练的话，尽管学生短时间里对这一内容掌握的比较好，但是学生对于知识的建构过程缺乏系统思考和逐步理解的过程，对于知识的生成获得缺少体验和感悟。不利于学生对新知识的获得，不利于后续知识的学习，更不能激发学生对数学学习的兴趣。

一、对教学设计的反思：

引入“因式分解”这一概念时，是通过复习小学知识“因数分解”，从质因数的分解开始，为了使运算更加简便和准确有时先把多项式进行变形再代入求值．这样的两个题学生都容易接受．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与分解质因数进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识．也渗透着数学中的类比思想．练让学生能体会“因式分解与整式乘法的区别”则通过把等号两边的式子互相转换位置而直观得出。

在学习提取公因式时，首先让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，并且引导学生得出提取公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程。此处的意图是充分让学生自主探索，

合作学习。而实际上，学生的学习情绪被充分调动起来了。通过小组讨论学习，尽管语言的组织方面不够完善，但是均可以得出结论。

接着进行例题学习，学生代表讲解展示后，教师点拨：强调多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式．公因式可以是多项式这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这时进行题组训练让学生对公因式的概念深入理解．

让学生自主完成练习题，老师当堂批改当堂讲评。在这个环节的教学设计中，我始终围绕提公因式法的步骤及如何找公因式作为本节课的核心问题，围绕这一核心问题，通过对知识的重难点的分析，把对核心问题的掌握化解为对几个次级问题的解决来实现，在问题的设计过程中，充分考虑了学生的潜在知识，对知识认知规律以及对新知识的接受能力。

课堂小结环节我采用了问题串教学的模式，把本节课的重点问题串成串，即让学生无意中总结出本课的重点内容，又让学生掌握了知识之间的联系。

二、成功之处

本课设计中，我尽可能的让学生真正成为学习的主体，让学生来多总结，多归纳，遇到比较困惑的问题可以发挥集体智慧的力量，让学生讨论，甚至辩论，尽量让学生动起来。而我有时会成为与学生有同样知识水平线的未知者，有时成为能表达学生问题的困惑者，有时成为能帮助学生完整清晰地表达意见的翻译，通过引导学生经历质疑。教学过程中，能做到及时向学生反馈信息。能走下讲台，做到课内批改大部分学生的练习，且对于个别学习本课新知识有困难的学生能单独予以辅导。发现大部分学生都做错及存在的问题能充分利用多媒体向学生展示，或是马上板演为全体学生讲解清楚。

1、备课中体会教材的编写意图，把握新课标的要求，大胆对相关内容进行整合，既点燃了学生学习的激情，又体现了数学的应用价值，再加上由浅入深的问题设置和自然过渡，为提高课堂学习效率奠定了基础。

2、课堂中坚持学生的主体地位，积极引导学生独立思考、交流互动，给学生提供足够的时间和空间动手操作，展示成果，讲解思路，提出疑问，交流看法，完善答案。充分信任学生，尽力做到了学生能讲的教师不讲，学生讲对的不再重复。使学生切身体验知识的形成、巩固和应用过程，实现教学目标。

3、回顾教学过程，学生回答问题都是积极主动的，共有18位学生全班交流，两次小组交流，独立动手做题6道，最后自我检测，使学生主动的、活泼的、有个性的动手动脑，进而发展思维、学会学习。

三、不足之处：

本课的设计，过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念，教学设计引入的过程可以进一步简化。对于因式分解的概念，学生可通过自己的一系列练习实践去体会到此概念的特点，故不需在开头引入的地方多加铺垫，浪费了宝贵的时间，在设计的时候脚手架的搭建层次也不够分明。具体如下：

1.目标呈现的时机以及体现呈现目标的作用和意义把握的不够充分。

2.在课前设计的过程中，对学生认知能力上的差异考虑的不够充分。

3.从问题的提出，到问题的解决过程中，没能把学生的思维积极的调动起来，学生对于问题解决的欲望不强烈，思考问题过程中缺乏体会、感悟的过程，学生似乎在等待教师把结果直接告诉他，这反映了学生对知识的获得缺乏思考的习惯。

4.问题设计的系统性、层次性、针对性、一致性还有待进一步研究和完善。

5.整节课在时间分配上有待斟酌，对新知识的巩固强化训练的时间相对太少，主要体现在堂清测试时间紧迫。