复习题28教学目标

开放探究型问题

题型特征

开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法。

常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间。解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等。

对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题。

解题方法与技巧

条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论。

存在开放型问题：此类问题符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。近几年常在中招压轴题最后一问出现。

教学目标

﹙1﹚、知识与技能：使学生掌握开放探究题的特点及类型，通过对各类题型的探索，培养学生创新意识和创新能力。

﹙2﹚、过程与方法：使学生能灵活运用基础知识，大胆推理、联想、创新，恰当运用数形结合思想、转化思想等多角度、多侧面、多层次思考问题，提高学生的解题能力。

﹙3﹚、情感与态度：通过富有情趣的问题，激发学生进一步探索知识的激情让学生感受数学来源于生活，用之于生活。在进行探索活动过程中，发展学生的探索意识和合作交流的习惯，培养学生的团队精神和学习兴趣。

教学重点、难点：

各种类型开放探究题的解题策略为重点，开放探究题型的解题方法与技巧是本节课的难点。

教学准备：多媒体课件

教学方法：引导启发式、谈话法、讨论法及讲练结合

教学流程

一、条件开放型问题

【例1】

已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？

解：如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形。(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°…

【点评】

判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等都能得到平行四边形的结论。

试一试

1

如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.。

(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是＿＿，并证明。

(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由。

解：(1)答：添加：EH＝FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH，∵∠BHE＝∠CHF，∴△BEH≌△CFH(SAS)。

(2)解：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)。

二、结论开放型问题

【例2】

如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.。

(1)求证：△ADP∽△BDA；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若AD＝2，PD＝1，求线段BC的长。

解：(1)证明：作⊙O的直径AE，连接PE，∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，∴∠DAE＝∠APE＝90°，∴∠PAD＋∠PAE＝∠PAE＋∠E＝90°，∴∠PAD＝∠E，∵∠PBA＝∠E，∴∠PAD＝∠PBA，∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP

＝∠BDA，∴△ADP∽△BDA。

(2)PA＋PB＝PC，证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，∵PF＝PB，∠BPC＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝BF，∠BFP＝60°，∴∠BFC＝180°－∠PFB＝120°，∵∠BPA＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠BPA＝∠BFC，∠PAB＝∠PCB,∴△BPA≌△BFC(AAS)，∴PA＝FC，AB＝BC，∴PA＋PB＝PF＋FC＝PC。

ADDPAP(3)解：∵△ADP∽△BDA，∴BD＝DA＝AB，∵AD＝2，PD＝1，∴BD＝4，AB＝2AP，∴BP＝BD－DP＝3，∵∠APD＝180°－∠BPA＝60°，∴∠APD＝∠APC，∵∠PAD＝∠E，∠PCA＝∠E，∴PAD＝∠PCA，∴△ADP∽△CAP，1＋13APDP22∴CP＝AP，∴AP＝CP·PD，∴AP＝(3＋AP)·1，解得：AP＝2或AP＝1－132(舍去)，∴BC＝AB＝2AP＝1＋13.。

【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力。

练一练

2﹑

(1)先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，Ck的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y＝x(x＞0)的图象经过点B，D，求k的值。

(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出。

解：(1)①∵AB＝BC＝CD＝DE，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，根据三角形的外角性质，∠A＋∠BCA＝∠CBD，∠A＋∠CDB＝∠ECD，∠A＋∠CED＝∠EDM，又∵∠EDM＝84°，∴∠A＋3∠A＝84°，k解得：∠A＝21°；②∵点B在反比例函数y＝x图象上，点B，C的横坐标都是kk3，∴点B(3，3)，∵BC＝2，∴点C(3，3＋2)，∵AC∥x轴，点D在AC上，kk且横坐标为1，∴D(1，3＋2)，∵点D也在反比例函数图象上，∴3＋2＝k，解

得，k＝3；

(2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法。

三、存在开放型问题

【例3如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA＞OB)。

(1)求点D的坐标．

(2)求直线BC的解析式．

(3)在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。

解：(1)x－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠DAE＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°＝∠AOB，∴△DAE≌△ABO(AAS)，∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝7，∴D(4，7)。

2

(2)过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，∴OM＝7，∴C(7，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0，39k，b为常数)，代入B(3，0)，C(7，3)解得k,b的值，∴y＝4x－4

(3)存在．点P与点B重合时，P1(3，0)，点P与点B关于点C对称时，P2(11，6)。

【点评】

本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性。

做一做

k3．已知一次函数y＝－x－4和反比例函数y＝x(k≠0)．

(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？

(2)设(1)中的两个交点为A，B，试问∠AOB是锐角还是钝角？为什么？

解题步骤略

﹙1﹚k<4且k≠0；

(2)当090°，是钝角。

小结

本节课你学了哪些知识﹖你又有何收获?请谈谈你的心得。

板书设计与作业布置

1、板书设计：把教学流程的四个环节板书在黑板上，题型的解决在多媒体上体现。

2、作业布置：作业我选择“巩固与提高”P145页里面的题，其中中考诠释和中考演练中基础题，全员均做，中考演练中综合运用题为选做题，可供有余力的学生能力提升用。

评价与反思

新课标要求我们合理选用教学素材，优化教学内容。所以我在教学中选用具有现实性和重点性素材，忠实于教材，但不迷信教材，在研究的基础上使用教材。对于课堂内外练习一部分取于教材，而题型的解题方法与技巧却有别于教材，开辟捷径，以激发学生的学习积极性和主动探究数学问题的热情。

教学的合理化，不拘泥于形式，在教学中，通过问题串与活动系列，实施开放式教学，随处可见学生思维间碰撞的火花，提高了学生思维能力，培养了学生思考问题的习惯，增强学生解决数学问题和运用数学的能力。