2.基本不等式优质教案设计

基本不等式

一、内容和内容解析

基本不等式是研究不等关系的一种重要形式，本节课只介绍二元的算术平均数、几何平均数之间的不等关系，教学中突出了解基本不等式的代数、几何背景及用基本不等式解决问题的基本方法和简单的应用。

基本不等式重点刻画两个正数算术平均值与几何平均值大小的变化规律，应用数形结合思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，渗透放缩思想的应用，它为不等关系证明、最值求解等提供有效的途径，用基本不等式求函数的最大值与最小值，这一应用渗透于社会经济生活与数学知识的内部矛盾之中。

基本不等式的代数结构abab也是数学模型思想的一个范例，教学中不仅要突出2数与形转化思想的运用，而且也要把数学模型化思想呈现在学生面前。

二、目标和目标解析

1.探究并了解基本不等式的证明过程，学会“形”与“数”的转化。

2.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明。

3.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。

本节课是学生对不等式认知的一次飞跃，引导学生从数和行两方面深入地探究不等式，

通过基本不等式的几何解释，丰富学生数形结合的能力。为了达到这一目标，通过会标问题，圆内半弦不大于半径问题再现“形”转化为“数”的过程；另一方面，变式教学的设计既加深学生对基本不等式的理解又实现学习目标的达成，从而进一步突破重点。两个公式的证明要注重严密性，教师要帮助学生理解每一步的理论依据，培养学生良好的数学思维品质，提高学生举一反三的逻辑推理能力；实际问题中的最大值与最小值是基本不等式的直接应用，关键是如何从实际问题中的数量关系抽象出基本不等式的特点，完成由实际问题转化为数学模型，解决函数的最优化问题。

三、教学问题诊断分析

面对第24届数学家大会的会标，如何使学生从图中寻找一些相等关系或不等关系？这一探究过程会出现一些思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等关系或不等关系”。可以引导学生分析直观图形中“直角三角形与正方形面积”中所呈现的数量关系，这样学生才能够发现其中图形面积所隐含的数量关系：

12

4abab2ab

22222即4个直角三角形面积与一个小正方形面积之和为大正方形面积。

当小正方形面积为0时，大正方形面积大于4个直角三角形面积，即

ab41ab，也即ab22222ab；

22当小正方形面积为0时，4个直角三角形面积等于大正方形面积，所以ab2ab，此时ab。

在不等式ab2ab的证明中，学生可能不能很快与不等式的基本性质产生联系，或运用比较法思想作差证明，其原因是人的思维需要一个联系“桥”，搭建一个联结点。可以给出一个引导“如果比较ab与2ab大小”的具体案例。

1 2222

运用分析法证明基本不等式“abab”，证明的格式及为什么可以这样证明是学2生思维的一个障碍点，一是学生不能马上发现其中隐含的道理，二是学生照此模拟往往就会出错，其原因是学生不能弄清楚这里推理的依据。但在这里要说清楚全部的根据就要涉及许多内容，如推理的可逆性问题，命题的唯一性问题，什么情况下才可以运用此法等。

教学实践发现，学生从认知角度来把握基本不等式的代数结构需要一个相当长的过程，尤其是所面对的数学问题错综复杂，教学中要特别突出代数结构的变化过程；另一方面，对于基本不等式的使用条件，学生缺乏判断的自觉意识，因此需采取选择反例的教学策略培养这一意识。

四、教学支持条件分析

学生对不等式的认知仅仅处在不等式求解的层面上，为了使学生在不等式的结构与形式上有较深刻的理解，需要在“形”与“数”的转化上，不等式的数学语言表达上、不等关系证明的逻辑思考上做许多假设，提供尽可能多的提示与标准的语言表达，在教学策略上尽可能多地选择正反两方面的例子、有步骤地变换因素、选择反例、建构假设、验证假设、考虑不同的可能性。

学生在对图形观察时不一定会准确把握图形中的数学本质，或不具备将“形”中的数量关系转化为“数”式的直接能力，因此需要教师引导，如引导学生从图形面积上考虑图形拼接前后的数量关系。

用分析法证明基本不等式时，要引导学生关注其语言“特色”，“要证……，只要证……”，并且规范地书写，给学生一个标准化的格式与信号。

在探索基本不等式的变式时，要引导学生从数学结构上去变化，如“两边同除以某一个式子”或“两边开方”或“两边平方”……给学生指明探索的方向。

在给出基本不等式的几何背景时，要引导学生将“数”式与平面图形中的线段进行转化，转化为几何图形中的数量关系。

在基本不等式的实际应用中，引导学生将问题中的文字语言转化为数学语言，然后根据数学语言的结构特点去灵活运用基本不等式。

五、教学过程设计

教师引言（投影图1）；同学们，这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，图1中的4个直角三角形围成一个正方形，我们大家一起来探究一下会标中所隐含的数量关系。

问题1 请同学们用手中准备的卡纸，拼成如图所示的会标的图案，通过卡纸摆放的图形，观察图1中4个直角三角形的面积，正方形ABCD,EFGH的面积，可得到一个等式：41ab

2ab22a22b2，即4个直角三角形面积与一个小正方形面积之和为大正方形面积。

2当小正方形面积不为0时，大正方形面积大于4个直角三角形面积，即ab41ab，也即ab22222ab；

22当小正方形面积为0时，4个直角三角形面积等于大正方形面积，所以ab2ab，

2

此时，ab；

当ab时，直观上直角三角形变成等腰直角三角形，于是从此图形中可得不等关系a2b22ab。

设计意图：

数学问题中的言语信息由生活语言、文字语言、符号语言、图形语言组合而成，且相互转化。通过卡纸游戏，让学生自己观察图形中的特点，发现图形中的数量关系，充分体验数学观察与挖掘的成就感。

问题2 我们把图形中正数a,b更换成实数a,b，ab与2ab的大小关系成立吗？你能证明吗？

师生活动：学生说出作差比较，由学生代表说出或写出证明过程，教师给予补充。

设计意图：

作差比较是不等关系与不等式性质单元中重要的知识点，作为这一知识点的直接运用，在此设计这一学生体验活动，关键是培养学生完整而准确的符合语言表达能力。一般地，对22于任意实数a,b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，等号成立。

22问题3 上述不等式中，a,bR，如果限制a0,b0,并用a,b分别代替a,b，可得一个新的不等式：abab(a0,b0)。你能利用不等式的性质证明这一不等式吗？

2学生思路：作差变形；

教材思路：用分析证明

设计意图

这里提供的教学内容是引导学生注意数学思维的分析形式，一方面分析法规范的陈述需要给学生展示，为后续推理与证明打下基础；另一方面分析法也是任一数学问题解题的突破口，这里采取的教学策略是建构假设、验证假设。

问题4 如图，你能给出基本不等式的几何解释吗？

师生活动：圆的直径为AB,弦DE，由于圆的直径长不小于弦长，所以基本不等式的几何解释为半弦不大于半径，当且仅当点C与圆心重合，即ab时等号成立。

设计意图

教科书将基本不等式由形而来，产生数的表达，然后再回到形，让学生感悟数与形的有机结合，采取的教学测量是有步骤地变换因素。

基本不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，它是解决最大值与最小值问题的有力工具。

问题5 例1 判断以下命题是否正确：

（1)因为yx

442x4，所以ymin4.（ ）

xx3

（2）设xR，则yx2882中，当x，x2时，ymin8.（ ）

xx9296，所以ymin6.（ ）

sinx（3）若0x，则ysinx设计意图

这三个例题恰巧代表三种情况，使用基本不等式分别不满足，一正，二定，三相等。

问题6 例2（1）把100写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

知识拓展

两个正数x,y

1．如果和xy为定值S时，则当

时，积xy有最大值

. 2. 如果积xy为定值P时，则当

时，和xy有最小值

. 设计意图

用数学眼光看数学实际问题，培养学生数学模型的总结与识别能力是培养学生综合素质的基础工作。

问题7 当堂检测

811. 已知x0，若x＋的值最小，则x为（ ）. xA． 81 B． 9 C． 3 D．16 2. 若0a1，0b1且ab，则ab、2ab、2ab、a2b2中最大的一个是（ ）. A．ab B．2ab C．2ab D．a2b2

3. 若实数a，b，满足ab2，则3a3b的最小值是（ ）. A．18 B．6 C．23 D．32

4.

已知x≠0，当x=_____时，x＋281的值最小，最小值是________. x25.

做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少. 设计意图

通过当堂检测的教学方法拓展基本不等式的运用，包括发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式使用的前提条件。

问题8 本节课接触到的数学方法有哪些？你体会到的数学思想有哪些？

设计意图

学生通过学习、感悟回答：本节课接触到数学方法是分析法、作差比较法、配凑法等，

4

学到的数学思想是数形结合思想、数学模型思想。

六、目标监测设计

已知x1，求函数y2x设计意图

基本不等式应用的障碍点在于使用条件“一正、二定、三相等”，当函数的表达形式不符合时，需要经过变形来满足，这需要观察数学表达式的数学结构。此题的关键就在于将“2x”变形为“2x12”，这样才能与“测学生思维的迁移能力。

1的最小值，并求y取最小值时x的值。

x11”结构联系，使用基本不等式。此题监x1

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