三 反证法与放缩法优秀公开课教案

不等式证明的基本方法

-放缩法

阳原一中 沈少雨 一、教材分析：

在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b。我们把这种把a放大到c（或把a缩小到c）的方法称为放缩法。放缩是一种重要的变形手段，但放缩的对象及其放缩的尺度不易掌握，技巧性强，这关系到证明的成败，放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，要根据不等式两端的特点及已知条件（条件不等式），审慎地采取措施，经过多次的探索和实验才能达到目的，因此必须多练。常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等。

二、教学目标：

1．知识与技能：掌握放缩法证明不等式的一些常见的放缩类型及其方法。

2．过程与方法：通过例题分析和练习，让学生了解放缩法证明不等式的基本方法，掌握证明不等式的多方面技巧，从而培养学生的数学素养，提高学生的解题能力。培养学生发现、分析、解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：在知识的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

三、教学重点：掌握放缩法证明不等式的原理和思路

学习难点：会用放缩法证明一些简单的不等式，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

四、方法和手段：启发诱导

合作探究

教具选择：多媒体课件

五、教学过程：

1、复习：不等式证明的常用方法：(1)比较法；(2)综合法

；(3)分析法

；(4)反证法。

2、讲授新课：

⑴放缩法：

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法。

1

⑵原理：

欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b；欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b

放缩法原理简单，但技巧性较强且有时还会有“危险”，放缩是一种能力，如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的关键所在。

本节课我们一起来研究不等式证明中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！

利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的。

⑶方法方法：

①添加或舍去一些项：

131

如：

(a＋2)2＋4＞(a＋2)2，a21a，n(n1)n，

②将分子或分母放大：

如：1112n(n1)nn(n1)，

1222kkkkk11222kkkkk1⑷例题讲解

①“添舍”放缩：

k1kkk1



a2abb2a2acc2abc条件分析：

不等式左边是两个根式的和，平方后十分复杂。故考虑对根号内的式子进行配方后再用“放缩法”。

证明：

a2abb2a2acc2a3a3(b)2a2(c)2a22424a2a2(b)(c)22abc2

放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，要根据不等式两端的特点及已知条件（条件不等式），审慎地采取措施，进行恰当地放缩，否则达不到目的。

注意事项：利用已知条件验证是否能取到等号，从而得到最后不等式。

例2．已知a，b，c，dR，求证1

abcd2．

abdbcacdbdac分析：若直接通分相加则会使运算非常复杂，不易达到证明的目的，分析此式的形式特点，可以通过适当放缩，使不等式简化，从而得出证明。

证明：因为a，b，c，d都是正数，

所以

aaa，

abcdabdabbabcdbb，

bcabaccc，

abcdcdbcddddabcddacdc

把以上四个等式相加，得：

abcdabcdabcd．

abcdabdbcacdbdacabcdabcd2．

abdbcacdbdac

即1②数列放缩：

111例1求证：23222

分析：不等式左边可用等比数列前n项和公式求和，表面是证数列不等式，实质是数列求和

123变式1求证：

22223

n2(nN)n211(nN)n2分析：不等式左边可用“错位相减法”求和，表面是证数列不等式，实质是数列求和

111变式2求证：23212121

11(nN)n213

分析：左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？将通项放缩为等比数列

31111例2求证：2－<1＋22＋…＋n2<2－n(n∈N*，且n≥2)．

n＋1分析：欲证的式子中间是一个和的形式，但我们还不能利用求和公式或其他办法求，可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，最后证得该不等式成立。

证明：∵k(k＋1)>k2>k(k－1) 11111

∴k－

k＋1k－1

分别令k＝2,3，…，n得：

1111－<2<1－，

2322111113－4<32<2－3，

…，

11111－<－2

11111111111111－＋－＋…＋－<－.

2＋2＋…＋2<1－＋－＋…＋2334nn＋123n223n－1n111111即－<＋＋…＋2<1－. 2n＋12232nn311111∴2－<1＋22＋32＋…＋n2<2－n(n∈N*，且n≥2)．

n＋1方法总结：

放缩法证明与数列求和有关的不等式，若ai可直接求和，就先求和再放缩；若不i1n能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和。

问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的bn才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等。

实际问题中，bn

大多是等比模型或裂项相消模型。

六、小结: (1)今天学到了什么，掌握了哪些技巧？

(2)学到哪些数学思想？

(3)对今天的问题你还有什么困惑吗？

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七、板书设计：

1、放缩法的定义

2、放缩法的原理

3、放缩法的方法

①添加或舍去一些项：

131

如：

(a＋2)2＋4＞(a＋2)2，a21a，n(n1)n，

②将分子或分母放大：

11111如：

－<2<－

kk＋1kk－1k1222kkkkk1k1k1222kkkkk1kk1

八、作业：

1.

已知实数x、y、z不全为零．求证：

3x＋xy＋y＋y＋yz＋z＋z＋zx＋x>2(x＋y＋z) 1112. 求证：1＋22＋32＋…＋n2<2 (n∈N*) 222222九、教学反思：

用“放缩法”证明不等式的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法使放缩“恰到好处”，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

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