阅读与思考 九连环教学目标

《2.5.1 等比数列的前n项和》

教学设计

张小松

教学目标：（1）经历推导等比数列的前n项和公式的过程，掌握错位相减法；

（2）结合方程思想，运用公式求Sn,an,a1,q,n中的量，知三求二；

（3）运用前n项和公式解决实际问题. 教学重点：公式的推导和应用

教学难点：公式的推导，错位相减法求数列的和

教学框架：（1）故事引入，以特例探究等比数列的前n项和；

（2）由特殊到一般，探究等比数列的前n项和公式；

（3）通过基础练习，熟练公式的基本应用；拓展练习，合作探讨用用错位相减法求一些数列的前n项和；

（4）课堂小结.

教学过程：

一、故事引入

目的：通过有趣的故事，引发学生的兴趣，激发学生的好奇心，引入求等比数列的前n项和。

内容：

话说八戒自西天取经回来后回到高老庄，创办了高老庄集团公司，摇身一变成了CEO，可是公司遇到资金困难，于是八戒找悟空帮忙：

八戒：猴哥，能不能给我借点钱？

猴哥：可以，我每天给你投资100万，连续投资30天，但是从投资的第一天起，你还我1块，第二天还我2块，第三天还我4块，后一天还的钱是前一天的2倍，连续返还30天。

八戒一听，心想，第一天支出1块，收入100万，第二天支出2块，收入100万，一高兴，就答应了。

问题1：八戒赚了吗？

为什么？

问题2: 八戒30天的总支出怎么求？

引导并得到一个以1为首项，以2为公比的等比数列的前n项和。

二.

探究推导等比数列的前n项和公式

通过等比数列的通项公式，将前n项和中的每一项写成a1和q的形式。

问题3：等比数列的每一项之间的联系是什么？

A：每一项是前一项的q倍

问题4：因为每一项q的指数不同，给求和带来困难，那么有没有办法得到q的指数相同的项，进而再求和呢？

给学生一定的思考时间，根据学生的反应情况引导

每一项都乘以q,得到q的指数相同的项；

问题5：这两个式子通过怎样的运算，可以得到简化求和，以得到Sn？

1

A：相减

对，这叫错位相减，进而通过解方程，得到

Sn. 师生共同得到求和公式。

问题6：有没有什么问题？或者要补充的？（强调q是否为1）

让学生发现问题，若没有发现，再引导，当一个式子的两边同时除以一个数或式子时，要考虑这个式子是否为0. 补充，当q为1时的公式。

回到之前八戒借钱的问题，作为例题，求和，熟悉公式的应用。

结合例题，通过问答得到运用公式要注意的四点，：

（1）公比是否为1；

（2）公式中的n是指项数；

（3）公式的选用；

（4）五个基本量，已知三个可求另外两个.

三，例题和练习

例1：（1）求等比数列5,52,53…的前n项和；

（2）已知等比数列a127,a91,求前8项和；

243初次运用公式，可先写出Sn,an,a1,q,n中已知的量，再书写一遍公式，再把数字放进去计算。

例题总结，已知条件不同时，选用不同公式可简化计算；已知三个量可以求另外两个基本量。

练习1：根据下列各题中的条件,求相应的等比数列{an}的前n项和Sn (1)a13,q2,

（3）a,a,a,a…

23411(2)a12.7,q,an.390n6;

学生先做，然后叫学生报答案，并让学生补充评价.

例2.

某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)? 问题7：每年的销售量之间有什么联系？

共同完成该例题.

总结：等比数列模型在生活中应用广泛，运用数列解决实际问题

2

例3.

求数列

1,3a,5a2,7a3,,(2n1)an1

的前n项和。

观察这个数列，是等差数列吗？是等比数列吗？那么该如何求这个数列的和？同学们讨论思考，并回答下列问题：

问题8 ：该数列的前后项有什么联系？

问题9：可以通过什么方法得到a的指数相同的项？怎么求和？

学生先讨论，并叫学生回答问题，给出解题思路，若学生不能，进一步引导

，可否类比等比数列求和公式的推导过程来求这个数列的和？

给出思路后，师生共同来解题，并强调运算过程中多写几项，错位相减要找对相对应的项。

总结，再观察这个数列，每一项a前面的系数有什么特点？（等差数列），每一项中a及其指数构成了一个什么数列？结论：若一个数列的通项公式是一个等差数列与等比数列的乘积，则可以运用错位相减来求和. 并且要注意公比为1的情况。

跟踪练习：求数列：an（n1）3n

的前n项和

四、课堂小结

通过问答法总结

我们今天学习了一个公式，一种方法，是什么公式？运用公式的时候要注意什么？是什么方法？对于等比数列，直接可用公式求和，对于哪一类数列，可用错位相减法来求和?

课后练习，熟悉公式的运用：

1. 数列an中，已知an23n

，求S6. 2.等比数列an中,已知a13,an96,Sn189

,求n的值；

3.等比数列an中,已知a1a2a6a2a3a43，求3

,a2a3a4a5a6的值a. a

3