1.3 实习作业教学实录

第一章解三角形

一、选择题

1 ．在ABC中,若sinAsinBsinC,则ABC的形状是

222（

）

D．不能确定.

（

）

A．钝角三角形. 2．在△ABC中,AC=B．直角三角形. C．锐角三角形. 7

,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于

B．A．3

233

2C．36

2D．339

43．）设ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b20acosA,则sinA:sinB:sinC为

A．4∶3∶2

B．5∶6∶7

C．5∶4∶3

D．6∶5∶4

4． (解三角形)在ABC中,若A60,B45,BC32,则AC

（

）

（

）

A．43

B．23

C．3

D．3

25 ．在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC

A．（

）

7

252B．7

2522C．7

25D．2425

（

）

6 ．在ABC中,若sinAsinBsinC,则ABC的形状是

A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. 22D．不能确定.

27 ．在ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若ab2c,则cosC的最小值为

A．

二、填空题

（

）

3

2B．2

2C．1

2D．12

cosC1．设△ABC的内角A、B、C

的对边分别为a、b、c,且a=1，b=2，1,则4sinB____

2．在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=3．在ABC中,已知BAC60,ABC45,BC4．在△ABC中,若a3,b,c=23,则b=______

63,则AC_______.

3,A3,则C的大小为___________. 5．（2015年高考（重庆理））设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

35cosA,cosB,b3,则c______

5136．（2015年高考（湖北理））设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若(abc)(abc)ab,则角C_________.

7．（2015年高考（福建理））已知ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余1,则b___________.

4弦值为_________.

8（．2015年高考（北京理））在△ABC中,若a2,bc7,cosB9．（2015年高考（安徽理））设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是_____

2①若abc;则C3 ②若ab2c;则C3 333③若abc;则C2 ④若(ab)c2ab;则C2

22222⑤若(ab)c2ab;则C3

三、解答题

1．（2015年高考（浙江文））在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3acosB. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

2．（2015年高考（天津文））在ABC中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c.已知a2,c2,cosA2. 4(I)求sinC和b的值; (II)求cos(2A

3．（2015年高考（山东文））(本小题满分12分) 3)的值. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanAtanC)tanAtanC. (Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列; (Ⅱ)若a1,c2,求△ABC的面积S.

4．（2015年高考（辽宁文））在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列. (Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.

5．（2015年高考（课标文））已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c3asinCcsinA. (Ⅰ)求A; (Ⅱ)若a=2,ABC的面积为3,求b,c.

6．（2015年高考（江西文））△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面积为22,求b,c.

7．（2015年高考（大纲文））ABC中,内角A.B.C成等差数列,其对边a,b,c满足2b3ac,2求A.

8．（2015年高考（安徽文））设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且有2sinBcoAssAincCosAcos

Cs(Ⅰ)求角A的大小;[

(II) 若b2,c1,D为BC的中点,求AD的长.

9．（2015年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cosA=,sinB=5cosC. 3(Ⅰ)求tanC的值; (Ⅱ)若a=2,求ABC的面积.

10．（2015年高考（辽宁理））在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列. (Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.

11．（2015年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,A,bsin(C)csin(B)a. 444(1)求证:BC2

(2)若a=2,求△ABC的面积. 12．（2015年高考（江苏））在ABC中,已知ABAC3BABC. (1)求证:tanB3tanA; (2)若cosC

13．（2015年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．5，求A的值. 5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(AC)cosB1,a2c,

求C.

参考答案

一、选择题

1. [解析] 由条件结合正弦定理,得abc,再由余弦定理,得cosC222a2b2c22ab0, 所以C是钝角,选A.

2. 【答案】B 222【解析】设ABc,在△ABC中,由余弦定理知ACABBC2ABBCcosB, 即7c422ccos60,c22c30,即(c-3)(c1)=0.又c0,c3. 设BC边上的高等于h,由三角形面积公式SABC211ABBCsinBBCh,知 22113332sin602h,解得h. 222【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.

3. D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且ABC,可得abc,所以ac2,bc1①;又因为已知3b20acosA,所以cosA3b②.由余弦定理可20a222b2c2a23bbca得cosA③,则由②③可得④,联立①④,得20a2bc2bc15(舍去),则a6,b5.故由正弦定理可7得,sinA:sinB:sinCa:b:c6:5:4.故应选D. 7c213c600,解得c4或c【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.

4.解析:B.由正弦定理,可得322ACBC23. ,所以AC2sin45sin60325. 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力. 【解析】∵8b=5c,由正弦定理得8sinB=5sinC,又∵C=2B,∴8sinB=5sin2B,8BsiBB易所以,知s47B,∴icosB=,cosC=cos2B=2cos2B1=.

5252226. [解析] 由条件结合正弦定理,得abc,再由余弦定理,得cosCa2b2c22ab0, 所以C是钝角,选C.

a2b2c2a2b21当且仅当a=b时取“=”,选7. 解析:由余弦定理得,cosC2ab4ab2C.

二、填空题

1. 【答案】:15 4析】【解a1,b2,cosC14,,则由余弦,即定理得,故1c2a2b22abcosC1421244c2BC115. sinB1()244【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sinB的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.

2.解析:由余弦定理得,b=a+c-2accosB=4,所以b=2.

3. 【答案】2222 AC3AC2 sin45sin60【解析】由正弦定理得【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.

4. 【答案】 2cab2c2a2c23,而【解析】cosA,故sinC1C. sinCsinA22bc【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案. 5. 【答案】c14 535412ab,cosBsinA,sinB,由正弦定理513513sinAsinB43bsinA513得,由余弦定理a12sinB51314a2c2b22bccosA25c290c560c 5【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值是本题的突破点,然后利【解析】由cosA用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.

6.考点分析:考察余弦定理的运用. 解析:由(abc)(abc)aba2b2c2ab a2b2c212C根据余弦定理可得cosC

2ab237. 【答案】2 4【解析】设最小边为a,则其他两边分别为2a,2a,由余弦定理得,最大角的余弦值为 a2(2a)2(2a)22 cos42a(2a)【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.

8. 【答案】4 ABC【解析】在中,得用余弦定理a2c2b214(cb)(cb)47(cb)cosB2ac44c4c,化简得8c7b40,与题目条件bc7联立,可解得a2,b4,c3,答案为4. 【考点定位】

本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.

9. 【解析】正确的是①②③ a2b2c22abab1C ①abccosC2ab2ab232a2b2c24(a2b2)(ab)21C ②ab2ccosC2ab8ab23③当C2时,cabcacbcab与abc矛盾 22232233333④取ab2,c1满足(ab)c2ab得:C2 22222⑤取ab2,c1满足(ab)c2ab得:C3

三、解答题

1. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】(1)bsinA=3acosB,由正弦定理可得sinBsinA3sinAcosB,即得

tanB3,B(2)3. sinC=2sinA,由正弦定理得c2a, 22222由余弦定理bac2accosB,9a4a2a2acos3,解得a3,c2a23.

2.解:(1)在ABC中,由cosAac214,可得sinA,又由及44sinAa2,c2,可得sinC74 由a2b2c22bccosAb2b20,因为b0,故解得b1. 所以sinC74,b1 (2)由cosA24,sinA144,cos2A2cos2A134,sinA2sinAcosA74 所以cos(2A3213)cos2Acos3sin2Asin38

3.解:(I)由已知得:sinB(sinAcosCcosAsinC)sinAsinC, sinBsin(AC)sinAsinC,则sin2BsinAsinC, 再由正弦定理可得:b2ac,所以a,b,c成等比数列. (II)若a1,c2,则b2ac2,∴cosBa2c2b232ac4, sinC1cos2C74, ∴△ABC的面积S12acsinB12127474.

4、

【答案与解析】 (1)由已知2B=A+C,A+B+C=,B=3,cosB=12 (2)解法一:b2=ac,由正弦定理得sinAsinC=sin2B=34 siCn得

1a2+c2-b2a2+c2-ac=解法二:b=ac,=cosB=,由此得a2+c2-ac=ac,得a=c 22ac2ac2所以A=B=C=3,sinAsinC=3 4【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.

5. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由c3asinCcsinA及正弦定理得 3sinAsinCsinAsinCsinC 由于sinC0,所以sin(A又0A,故A6)1, 23. (Ⅱ) ABC的面积S=2221bcsinA=3,故bc=4, 222而

abc2bccosA

故cb=8,解得bc=2. 法二:解: 已知:c3asinCccosA,由正弦定理得: sinC3sinAsinCsinCcosA 因sinC0,所以:13sinAcosA , a2b2sinxba0,tan,得: a2由公式:asinxbcosx1,所以:A sinA,A是的内角,所以A66362(2) S1bcsinA3bc4 2a2b2c22bccosAbc4 解得:bc2

3(cosBcosCsinBsinC)16cosBcosC3cosBcosC3sinBsinC16. 【解析】(1)3cos(BC)1则cosAcos(A)131. 3

22(2) 由(1)得sinA3,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 cosAb2c2a2b2c22bc9122b3123则bc13②,①②两式联立可得或a2a3.

b27. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案. 【解析】由A.B.C成等差数列可得2BAC,而ABC,故3BB3且C23A 而由2b23ac与正弦定理可得2sin2B3sinAsinC2sin2233sin(3A)sinA 所以可得23224A33(A 23s31cos2sin2A2A21sin(2A16)2,由0A2362A676,故 2A566或2A66,于是可得到A6或A2.

8. 【解析】(Ⅰ)ACB,A,B(0,)sin(AC)sinB0 2sinBcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC)sinB cosA12A3 (II)a2b2c22bccosAa3b2a2c2B2 在RtABD中,ADAB2BD212(3272)2

9. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点. A

25(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=1cos2A, 33又5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA 25cosC+sinC. 33整理得:tanC=5. =(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=又由正弦定理知:故c3. (1) 5. 6ac, sinAsinCb2c2a22对角A运用余弦定理:cosA=. (2) 2bc3解(1) (2)得:b3

or b=∴ABC的面积为:S=5. 23(舍去). 3【答案】(Ⅰ)

5;(Ⅱ) 10. 【答案及解析】 5.

2(1)由已知2B=A+C,A+B+C=,B=3,cosB=1 222(2)解法一:b=ac,由正弦定理得sinAsinC=sinB=3 41a2+c2-b2a2+c2-ac=解法二:b=ac,=cosB=,由此得a2+c2-ac=ac,得a=c 22ac2ac2所以A=B=C=3,sinAsinC=3 4【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.

11.

【解析】 解:(1)证明:由

bsin(C)csin(B)a及正弦定理得: 44sinBsin(C)sinCsin(B)sinA, 44即sinB(22222sinCsinC)sinC(sinBsinB) 222223 4整理得:sinBcosCcosBsinC1,所以sin(BC)1,又0B,C

所以BC2 35,C,又A,a2 可得B4884asinB5asinC2sin,c2sin, 所以bsinA8sinA8(2) 由(1)及BC所以三角形ABC的面积1521bcsinA2sinsin2sincossin 28888242【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.

12. 【答案】解:(1)∵ABAC3BABC,∴ABACcosA=3BABCcosB,即ACcosA=3BCcosB. ACBC,∴sinBcosA=3sinAcosB. =sinBsinAsinBsinA cosB>0.∴又∵00，即tanB3tanA. =3cosBcosA由正弦定理,得5525，0

cosC.∴tanC2. 5552tanAtanB2. 1tanAtanB14tanA由 (1) ,得,解得. 2tanA=1 tan，A=313tan2A∴tanAB2,即tanAB2.∴∵cosA>0,∴tanA=1.∴A=4. 【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. 【解析】(1)先将ABAC3BABC表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明. 5，可求tanC,由三角形三角关系,得到tanAB,从而根据两5角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值.

13. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. (2)由cosC【解析】由ABCB(AC), 由正弦定理及a2c可得sinA2sinC

所以cos(AC)cosBcos(AC)cos((AC))cos(AC)cos(AC) cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinC 故由cos(AC)cosB1与sinA2sinC可得2sinAsinC14sinC1 而C为三角形的内角且a2cc,故0C22,所以sinC1,故C. 26【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a2c,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角C的值.