小结优秀教案板书设计

基本不等式

（教学设计）

一、教材分析

《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，同时也为选修1-2中直接证明和间接证明中的有关不等式证明的问题作好准备，为选修4－5：不等式选讲中的几种重要不等式及不等式的证明做好了铺垫。在整个知识体系中起到了承上启下的作用，具有很重要的作用。在课本封面就能体现出来。

基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，为今后解决最值问题提供了新的方法，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。 二、学情分析

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

三．教学目标

（1）知识与技能: 了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件. 知道基本不等式成立的条件，并会求yaxa0,b0类型的函数在x0时的最小值，初步认识

“=”成立的作用. 会运用基本不等式解决实际问题的最优化配置问题. （2）过程与方法：按照创设情景，提出问题→

基本不等式的探究→基本不等式的分析→基本不等式的

应用的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

（3）情感态度与价值观：在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感.通过基本不等式在求最值上的应用，体会数学来源于生活，反馈于生活，提高学生学习数学的兴趣，提倡学生树立科学的节能减排的环保理念. 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式abab

的证明过程；

2bx难点：用基本不等式求最大值和最小值 四、教学方法

本节课采用数形结合的思想，引导学生观察——探究——感知——抽象——归纳；用启发诱导、探究合作、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学

生探究思索。以现代信息技术多媒体课件.几何画板以及希沃授课助手作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

五、学法指导

在教学过程中，以教师为主导，以学生为主体，在教学中引导学生去提出、分析和解决问题。课堂上从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求基本不等式，发现基本不等式的实质，利用基本不等式解决实际问题。使学生从代数证明和几何证明两方面理解基本不等式。

六、教学工具：多媒体课件，几何画板，希沃授课助手

七、教学基本流程

创设问题情境

探究基本不等式

归纳总结基本不等式

运用基本不等式解决实际问题

课堂小结

练习提高与作业

八、教学过程

教师活动

一、问题引入:

学生活动



了解中国数学设计意图

问题1：请同学们拿出四个全等的直

角三角形，同桌合作拼成以斜边为边同桌合作动文化，增强学手摆出图形,长、外轮廓为正方形的图形

并将小组作生的民族自豪品投影展示 感和爱国主义教师巡视适时给予点拨提示：

精神，增强学利用PPT逐个出示图片

生对国家发展赵爽弦图

的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.

二、公式探究：

借助几何画板动态演示

问题2：将图形抽象成右图所示图

小组合作结合所拼会标图形，小组代表回答本组答案，得出不等式以及等号成立的条件

利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2b22ab学生体会如何从实验中发现问题，培养学生数形结合的思想方法,

形，设AF长为a，BF长为b

(1)你能用a,b表示大正方形ABCD 的边长和面积s吗？

(2)四个直角三角形的面积之和S'是 (3)大正方形的面积S与S'的大小关系是 (4)它们有相等的情况吗？

由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，得到一个不等式：a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，有a2b22ab。

问题3：由图形得出的结论只是一个

猜想，你能证明你的猜想吗？总结上学生用作差面结论并证明

法口述证明证明：（作差法）

重要不等式

因为 a2b22ab(ab)20

所以

a2b22ab.

当且仅当ab时，等号成立

教师板书：

总结结论1：重要不等式

观察重要不a2b22ab(aR,bR)等式的结构当且仅当ab时等号成立特点

问题4：如果a>0,b>0,我们用a、

b分别代替不等式a2b22ab.中的由换元替代a,b能得到什么结论？

的方法，直

接得出基本替换后得到：ab2ab， 不等式

通常把上式写作：

abab(a>0,b>0)

2

通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解. 培养学生从特殊到一般的数学思想方法

此处采用了换元法，也为后面利用基本不等式求最值奠定基础. 总结结论2：基本不等式

abab(a0，b0)

2..

当且仅当a=b时，等号成立。

问题5：你能从代数证明的角度证明此不等式吗？

通过证明过程类比前面的发现基本不等证明方法，式成立的条

学生用作差法口述证明件，加深学生基本不等式

对知识的理解

ab问题6：在数学中，我们称为

2

a、b的算术平均数，称ab为a、b

的几何平均数.基本不等式可叙述

为：两个非负数的算术平均数不小于

它们的几何平均数.刚才从代数角度

证明了基本不等式的成立，从几何图

形上能否证明它成立呢？

借助几何画板动态演示

如图AB是圆O的直径，C为AB上一

点，过C做直径的垂线交圆于D、E

两点，设AC=a,BC=b

基本不等式的几何解释

1.如何用a,b表示OD,CD? 隐藏对象隐藏对象隐藏外圆隐藏线段DAaCObB

2.你能从图形中得出OD和CD的大小小组合作讨关系吗？

3.你能给出基本不等式的几何解释吗？

论，学生回答，根据按钮拖动直观地观察CD易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，或与OD的大2利用相交弦定理，那么ＣD＝Ｃ小关系. A·ＣB 即ＣD＝ab. ab这个圆的半径为，显然，它大

2abab，其中当

于或等于CD，即2

培养学生团结合作精神以及数形结合的意识，养成数形结合地分析问题的习惯.

培养学生观察概括能力，结论的得出发挥学生自主能动性 且仅当点C与圆心重合，即a＝b

时，等号成立. 因此：基本不等式abab几何

2意义是“半径不小于半弦”

问题7：基本不等式有何作用呢？

abab2ab，ab

22

学生总结变对于x0,y0，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

形式，分析基本不等式在求函数最值中的作用

（2）若xys（定值），则当且仅当s2ab时，xy有最大值4．

三

、基本不等式应用

问题8：应用1

应用：ab1.某同学学完基本不等式后用ab2ab，ab2推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误.2学生观察指出错误，体会不等式成立的条件的重要性. 总结出一正二定三相等的特点

y69222基本不等式成立的条件学生往往易忽视，在应用方面仍存在不仔细的现象，所以这里用易出错的题目进行强调.另外此处继续(1)若x0,则x112x2xxabab(2)若ab0,则22babax（3）若x0,y0,且xy6,则xy2

巩固用换元的方法思考问题；

变式练习将两个正数变为不互为倒数的情况,使学生能举

变式练习：

学生独立完成，并将优秀作业投影

变式：21.若x0，8x最小值为x2yx2.当xy0时,最小值为xy一反三解决问题.

问题9：应用2

应用举例2.用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？

思考、运用基本不等式解决问题

1.

使学生利用基本不等式解决简单的实际问题；

2.

尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性.

变式：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

四、知识梳理，体会研究价值

问题10：本节课主要学习了什么内容？什么数学思想方法？

由学生总结学习的内容，指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想。

通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标. 五、目标检测设计

作业：1.P1，2，3A组1题100练习2.求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值。(1)y4x1(x0);2x(2)ysinx1(x0,)sinx2课后思考：1.求函数yx1(x1)的最小值x12.若0x2,求函数yx(2x)的最大值

设计意图：（1）采用几道简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况

（2）课后思考为学有余力的学生准备，同时也为下一节的学习做

好铺垫，也达到分层教学的目的。

九、教学反思

1.

逐层铺垫，降低难度

由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和基本不等式及其取等号的条件．

2. 恰当使用信息技术

恰当地使用多媒体课件.几何画板.希沃教学助手，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. 3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式

精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会. 4.适时渗透德育内容

抓住教材中赵爽弦图，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排的环保意识，从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果. 5.课堂气氛是反应教学效果的最直接方式

由于学生基础较薄弱，本节课课堂气氛没有达到预期效果，我只调动起了大部分学生，仍有部分学生反应较吃力，因此，在以后的教学中，要因材施教，教学设计尽量达到面向全体学生。总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了德育在学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人的能力.