一 比较法教案和学案内容

选修4—5不等式选讲

第二讲 证明不等式的基本方法

一、比较法（第一课时）

Ⅰ、教学目标

1．理解用作差比较法证明不等式的原理和思路

2．会用作差比较法证明简单的不等式

Ⅱ、教学重点

会用作差比较法证明简单不等式

Ⅲ、教学难点

1．会用作差比较法证明简单不等式

2．数学转换思想的理解与应用

Ⅳ、教学过程：

一、新课学习：

问题：两个实数的大小有几种关系？

（1）abab0

（2）abab0

（3）abab0

不等式有了以上性质，要证明ab，即证明ab0；要证明ab，即证明ab0，这就是证明不等式最基本也是最重要的方法：比较法中的作差。

板书：

一、比较法

1．作差

用这个思想可以证明一些不等式，下面看例题。

二、典型例题：

cc。

bacccccc分析：根据不等式的性质，要证，即证0，重点是找0的理由。

bababaccc(ab)证明：（板书）

baab例1．已知ab0，c0，求证：ab0ab0，ab0

1

又c0，于是c(ab)cccc0，即0，所以，

abbaba例2．已知ab，求证：a3b3ab(ab)

分析：根据不等式的性质，要证a3b3ab(ab)，即证a3b3ab(ab)0，重点是找a3b3ab(ab)0的理由。

证明：

法1（板书）：

a3b3ab(ab)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(a2b2)

abab0，a2b20

于是，(ab)(a2b2)0，即a3b3ab(ab)0，所以a3b3ab(ab)

法2（板书）：

a3b3ab(ab)a3b3a2bab2(a3a2b)(ab2b3)a2(ab)b2(ab) (ab)(a2b2)

abab0，a2b20

于是，(ab)(ab)0，即abab(ab)0，所以abab(ab)

总结：有括号先不要忙着展开，看看前后有什么关系，确实不行，再展开。此外，注意立方差公式的记忆。

422422例3．已知ab，求证：a6abb4ab(ab)

422422223333分析：根据不等式的性质，要证a6abb4ab(ab)，即证a46a2b2b44ab(a2b2)0，重点是找a46a2b2b44ab(a2b2)0的理由。其次，有括号先不要忙着展开，看看前后有什么关系。

证明：（板书）

a6abb4ab(ab)(a)2ab(b)4ab(ab)4ab

4224222222222222

2

(a2b2)222ab(a2b2)(2ab)2(ab2ab)(ab)2224

又ab，于是，(ab)40，即a46a2b2b44ab(a2b2)0，

所以，a46a2b2b44ab(a2b2)

总结：有括号先不要忙着展开，寻找前后的关系；注意完全平方公式，即要会配方。

nnn1n1例4．已知a0，b0，nN，求证：ababab

nnn1nnn1n1babn1，即证ababab0，分析：根据不等式的性质，要证aba重点是找aba证明：（板书）

nnn1babn10的理由。

anbnan1babn1an1(ab)bn1(ba)(ab)(an1bn1)

nnn1n1（1）当ab时，(ab)(an1bn1)0，所以，ababab

n1n10，于是，(ab)(an1bn1)0，所以（2）当ab时，ab0，abanbnan1babn1

n1n10，于是，(ab)(an1bn1)0，所以（3）当ab时，ab0，abanbnan1babn1

综上所述，abannn1babn1

总结：两个数不知道大小时，

要对他们进行分类讨论。

三、课时小结：

本节课学习了证明不等式的一种最基本、最重要的方法﹕比较法中的作差。用作差比较法证明不等式的步骤是：作差，变形，判断差的正负，下结论。“变形”是解题的关键，也是最重要的一步，常用的方法有：通分，因式分解，配方，当两个数不知道大小时，

要对他们进行分类讨论。

四、课堂练习：

222221．已知adbc，求证：(ab)(cd)(acbd)

2．设a，b是非负实数，求证：a3b3

ab(a2b2)

3

答案：

证明：

1．(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2a2c2b2d22abcd

a2d22abcdb2c2(adbc)2

adbc，于是(adbc)20，即(a2b2)(c2d2)(acbd)20

所以，(a2b2)(c2d2)(acbd)2

2．a3b3ab(a2b2)a3b3a2abb2ab

（a3a2ab）(b3b2ab)a2(aab)b2(bab)a2a(ab)b2b(ba)

(ab)(a5b5)

（1）当ab时，(ab)(a5b5)0，所以，

a3b3ab(a2b2)

（2）当ab时，ab0，a5b50，于是，(ab)(a5b5)0，所以a3b3ab(a2b2)

（3）当ab时，

ab0，a5b50，于是，(ab)(a5b5)0，所以a3b3综上所述，a3b3五、课后作业：

1．已知正数a，b，c成等比数列，求证：abc(abc)

2．设ABC的三边长分别是a，b，c，求证：（4abbcac)(abc)

22222ab(a2b2)

ab(a2b2)

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