信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响优秀教学实录

正态分布

[自主梳理] 1．正态曲线及其性质

1(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝e2πσ(x)222，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

③曲线在x＝μ处达到峰值1. σ2π④曲线与x轴之间的面积为1. ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

2．正态分布及正态变量在三个特殊区间内的概率

(1)正态分布：

①如果对于任何实数a，b(a

②记作：X～N(μ，σ2)．

(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率：

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

[双基自测] x－1011．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，88π则这个正态总体的平均数与标准差分别是(

) A．10与8

C．8与10

B．10与2 D．2与10 2b解析：由f(x)知，σ＝2，μ＝10.

答案：B

2．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)，则C等于(

) A．0

C．－μ

B．σ

D．μ

解析：由正态曲线的对称性及P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)知C＝μ. 答案：D 3．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是(

) A．68.26%

C．99.74%

B．95.44% D．31.74% 解析：∵X～N(90,100)．

∴μ＝90，σ＝10. ∴P(70

授课提示：对应学生用书第39页

探究一

正态曲线及其性质

[典例1]

如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．

[解析]

从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，1最大值为，

2π所以μ＝20，

11＝，

2πσ2π∴σ＝2. x－202于是φμ，σ(x)＝·e－，

42π1x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，

方差是σ2＝(2)2＝2.

利用正态曲线的性质求参数μ，σ：

(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.

1(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ. σ2π

1x1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为φ(x)＝e6πA．μ＝2，σ＝3

C．μ＝2，σ＝3

x2223224x46，则(

) B．μ＝3，σ＝2 D．μ＝3，σ＝3

1解析：由φ(x)＝e2π×3答案：C ，得μ＝2，σ＝3.故选C. 探究二

利用正态曲线的对称性求概率

[典例2]

设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－1

(2)P(3

(3)P(X>5)．

[解析]

因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1

所以P(35)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3

求正态总体在某个区间内取值的概率的方法：

(1)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．

(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

(3)P(xμ＋a)．

达标训练

12，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(

) 2．已知X～N0，3A．0.097

C．0.03

B．0.046 D．0.002 6 1解析：∵μ＝0，σ＝，∴P(X<－1或X>1)＝1－P(－1≤X≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)3＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案：D 探究三

正态分布的实际应用

14，，[典例3]

工厂制造的某机械零件尺寸X(单位：cm)服从正态分布N9在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)cm这个尺寸范围的零件大约有多少个？

114，，∴μ＝4，σ＝. [解析]

∵X～N93∴不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3

∴1 000×0.002 6≈3(个)，

即不属于区间(3,5) cm这个尺寸范围的零件大约有3个．

求正态分布的实际应用问题的方法：

解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ

达标训练

3．一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知满分为150分，这个班共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．

解析：∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20. ∵P(110－20

P(110－2×20

1∴X>130的概率为(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，

2X≥90的概率为0.682 6＋0.135 9＝0.818 5，

∴及格的人数为54×0.818 5≈44，

130分以上的人数为54×0.135 9≈7.

正态分布中的化归与转化思想

[典例]

已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝(

) A．0.158 8

C．0.158 6

B．0.158 7 D．0.158 5 [解析]

由于X服从正态分布N(3,1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3. 所以P(X>4)＝P(X<2)，

1－P2≤X≤41－0.682 6故P(X>4)＝＝＝0.158 7. 22[答案]

B [感悟提高]

(1)化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．

(2)本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P(X>4)＋P(X<2)＋P(2≤X≤4)＝1将问题转化．

[随堂训练]

1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是(

) A．曲线b仍然是正态曲线

B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等

C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误．

答案：C 1－2，，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是(

) 2．设X～N4A．95.44%

C．4.56%

B．99.74% D．0.26% 11－2，知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.5

答案：B 3．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为(

) A．上、下午生产情况均为正常

B．上、下午生产情况均为异常

C．上午生产情况正常，下午生产情况异常

D．上午生产情况异常，下午生产情况正常

解析：根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．

答案：C 14．设随机变量X～N(1,22)，则D2X等于________．

解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，

111X＝D(X)＝×4＝1. 所以D244答案：1