1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学实录及点评

1．2

独立性检验的基本思想及其初步应用

1.了解分类变量的意义．

2.了解2×2列联表的意义．

3.了解随机变量K2的意义．

4．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．

1．分类变量和列联表

(1)分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．

②2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

2.等高条形图

(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

(2)观察等高条形图发现3．独立性检验

(1)定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

n(ad－bc)2(2)K＝，

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)2y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

ac和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．

a＋bc＋d其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

(3)独立性检验的具体做法

①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0. ②利用公式计算随机变量K2的观测值k. ③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有

发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)列联表中的数据是两个分类变量的频数．(

) (2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(

) (3)K2的值越大，两个事件的相关性就越大．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)√

2．下面是2×2列联表．

x1

x2

总计

则表中a，b处的值应为(

) A．33，66

C．32，67

答案：A 3．若由一个2×2列联表中的数据计算K2的观测值k＝4.013，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为两个变量有关系．

答案：0.05

等高条形图

从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机作随机样本，根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责任将数据整理如下：

有酒精

无酒精

总计

有责任

650

700

1 350

无责任

150

500

650

总计

800 1 200

2 000 B．25，50 D．43，56 y1

33

a b y2

21

13

34 总计

54 46

相应的等高条形图如图．

试结合等高条形图分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关．

【解】

从题图中可以看出，阴影部分所占比例差距较大，由此我们可以在某种程度上认为“血液中含有酒精”与“对事故负有责任”有关系．

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤

1.一次调查男女学生喜欢语文学科的情况，共调查了90人，具体如下：

男

女

喜欢

20

30

不喜欢

25 15 据此材料，你认为喜欢语文学科与性别(

) A．有关

C．不确定

B．无关

D．无法判断

解析：选A．在男生中约有44%的喜欢语文课，而女生中约有66%的喜欢语文课，直观判断可知喜欢语文课与性别有关．

2．研究人员选取170名青年男女大学生，对他们进行一种心理测验．发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有18名，否定的有42名.110名男生在相同的题目上作肯定的有22名，否定的有88名．试判断性别与态度之间是否有关系．

解：根据题目所给数据建立如下列联表：

女生

男生

总计

相应的等高条形图如图所示．

肯定

18

22

40

否定

42

88

130

总计

60

110

170

比较来看，女生中肯定的人数的比例要高于男生中肯定的人数的比例，因此可以在某种程度上认为性别与态度之间有关系．

独立性检验

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？

【解】

根据题目所给的数据得到如下列联表：

有兴趣

无兴趣

总计

根据列联表中数据由公式计算得

361×(138×52－73×98)2－k＝≈1.871×104.

211×150×236×125因为1.871×104＜2.706，

－理科

138

98

236

文科

73

52

125

总计

211

150

361

所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”．

解决独立性检验问题的基本步骤

(1)根据已知的数据作出列联表．

(2)求K2的观测值．

(3)判断可能性：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小．

在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．

(1)作出性别与休闲方式的列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关？

解：(1)2×2列联表如下：

休闲方式

性别

女性

男性

总计

(2)计算K2的观测值为

看电视

40

20

60

运动

30

30

60

总计

70

50

120

120×(40×30－20×30)2k＝≈3.429.

70×50×60×60而3.429＞2.706，

因为P(K2＞2.706)≈0.10，

所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关．

1．两分类变量之间关联关系的定性分析

(1)频率分析

通过对样本的每个分类变量的不同类别和事件发生的频率的大小比较来分析分类变量之间是否有关联关系，通常通过列联表列出两个分类变量进行分析．

(2)图形分析

利用等高条形图来分析两分类变量之间是否具有相关关系，形象、直观地反映两个分类变量之间的总体状态和差异大小，进而推断它们之间是否具有相关关系．

2．独立性检验的基本思想

独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法．要判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小．若由观测数据求得的K2的观测值k很大，则断言假设不成立．给定一个正数k0，称为一个判断规则的临界值．如果k≥k0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．

【规范解答】

频率分布直方图与独立性检验的综合应用

(本题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，是否可认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

P(K2≥k0)

k0

20.10

2.706

0.05

3.841

0.010

6.635

0.005

7.879 n(ad－bc)2附：K＝. (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)4 500【解】

(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

15 000(3分)

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (6分)

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

每周平均体育运动时间不超过4小时

每周平均体育运动时间超过4小时

总计

结合列联表可算得K2的观测值：

300×(45×60－165×30)2100k＝＝≈4.762＞3.841. 2175×225×210×90(10分)

男生

45

165

210

女生

30

60

90

总计

75

225

300

所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

(1)按频率分布直方图的信息，统计出相关的数值．

(2)利用独立性检验的基本思想作出分析判断．

1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是(

) (12分)

解析：选D．在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．

2．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(

) A．k≥6.635

C．k≥7.879

B．k＜6.635 D．k＜7.879 解析：选C．犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.

3．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得数据，试问：在出错概率不超过0.025的前提下，能否判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”？

数学成绩不好

数学成绩好

总计

总成绩不好

478

399

877

总成绩好

12

24

36

总计

490

423 913

解：依题意，计算随机变量K2的观测值：

913×(478×24－399×12)2k＝≈6.233＞5.024，

490×423×877×36所以在出错概率不超过0.025的前提下，可以判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．

[A

基础达标] 1．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b处的值分别为(

) A．94，96

C．52，60

B．52，50 D．54，52 y1

a 8

b y2

26

25

51

总计

78 33 c

解析：选C．因为a＋26＝78，所以a＝52，所以b＝a＋8＝52＋8＝60.

2．下列说法错误的是(

) A．有时可以把分类变量的不同取值用数字表示，但这时的数字除了分类以外没有其他含义

B．在统计学中，独立性检验就是利用随机变量K2来检验“两个分类变量是否有关系”的一种方法

C．在进行独立性检验时，可以先利用等高条形图粗略地判断两个分类变量是否有关系

D．通过等高条形图可以精确地给出所给结论的可靠程度

解析：选D．通过等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但不能精确地给出所得结论的可靠程度．故选D．

3．在列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强(

) acA．与

a＋bc＋dacC．与

a＋db＋cacB．与

c＋da＋bacD．与

b＋da＋cac解析：选A．与相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系a＋bc＋d越强．故选A．

4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

爱好

不爱好

总计

2男

40

20

60

女

20

30

50

总计

60 50 110 n(ad－bc)2110×(40×30－20×20)2由K＝算得，观测值k＝≈7.8. (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)60×50×60×50附表：

P(K2≥k0)

k0

0.050

3.841

0.010

6.635

0.001

10.828 参照附表，得到的正确结论是(

) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

解析：选A．由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

5．(2017·北京市东城区期末考试)对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下的列联表，则随机变量K2的观测值约为(

)

甲班

乙班

优秀

11

8

不优秀

34

37

总计

45 45

总计

A．0.600

C．2.712

219

71

B．0.828 D．6.004 90 90×(11×37－34×8)2解析：选A．随机变量K的观测值k＝≈0.600.故选A．

19×71×45×456．为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽取了301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．

长发

短发

总计

经常头晕

35

37

72

很少头晕

①

143

③

总计

121 ②

④

空格中的数据应分别为①________；②________；③________；④________．

解析：题表中最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而题表中最下面的总计是对应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.

答案：86

180

229

301 7．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为________．(填百分数) 解析：因为7.097＞6.635，所以我们有99%的把握认为这两个变量有关系．

答案：99% 8．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

性别

男

女

非统计专业

13

7

统计专业

10 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据，得到K2＝50×(13×20－10×7)2≈4.844＞3.841.所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断23×27×20×30出错的可能性约是________．

解析：根据K2≈4.844＞3.841知，这种判断出错的可能性约是5%.

答案：5% 9．某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响．

解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：

甲在生产现场

甲不在生产现场

总计

合格品数

982

493

1 475

次品数

8

17

25

总计

990

510

1 500

因为ad－bc＝982×17－8×493＝12 750，|ad－bc|比较大，说明甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

相应的等高条形图如图所示．

图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样品中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场时样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

10．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要进行补考．现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留如下数据：

成绩

性别

男性

女性

总计

(1)完成列联表；

(2)根据列联表判断性别与考试成绩是否有关系．

解：(1)完成列联表如下：

成绩

性别

男性

女性

总计

合格

45

30

75

不合格

10

20

30

总计

55

50

105

合格

45

30

不合格

10

总计

105 (2)由第一问中列联表所给数据得K2的观测值为：

105×(45×20－30×10)2k＝≈6.109.

75×30×55×50由于6.109＞5.024，且P(K2≥5.024)≈0.025，

故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与考试成绩有关系”．

[B

能力提升] 11．有两个分类变量X，Y，其一组的列联表如下所示：

X1

X2

Y1

a 15－a Y2

20－a

30＋a

其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(

) A．8

C．8，9

2B．9 D．6，8 65×[a(30＋a)－(15－a)(20－a)]2解析：选C．根据公式，得K的观测值k＝＝20×45×15×5013×(13a－60)2＞3.841，根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得a＝8，9满足题意．

20×45×3×212．某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：

女生

男生

总计

焦虑

5

20

25

说谎

10

10

20

懒惰

15

50

65

总计

30

80

110 则在焦虑、说谎、懒惰这三种心理障碍中与性别关系最大的是________．

解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量K2K2K2其观测值分别为k1，1，2，3，k2，k3，由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：

女生

男生

总计

焦虑

5

20

25

不焦虑

25

60

85

总计

30

80

110

110×(5×60－25×20)2可得k1＝≈0.863＜2.706，

30×80×25×85110×(10×70－20×10)2同理，k2＝≈6.366＞5.024，

30×80×20×90110×(15×30－15×50)2k3＝≈1.410＜2.706.

30×80×65×45

因此，说谎与性别关系最大．

答案：说谎

13．为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：

肥胖

不肥胖

总计

常喝

不常喝

2 18

总计

30 4已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为. 15(1)请将上面的列联表补充完整．

(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？

x＋24解：(1)设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年有x名，则＝，解得x＝6.

3015列联表如下：

肥胖

不肥胖

总计

常喝

6

4

10

不常喝

2

18

20

2总计

8

22

30

30×(6×18－2×4)2(2)由第一问中列联表中的数据可求得随机变量K的观测值k＝≈10×20×8×228.523＞7.879，

因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关．

14．(选做题)下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：

干净水

不干净水

总计

得病

52

94

146

不得病

466

218

684

总计

518 312 830 (1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关？请说明理由；

(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．

解：(1)假设H0：传染病与饮用水的卫生程度无关．

把表中数据代入公式，得K2的观测值为

830×(52×218－466×94)2k＝≈54.21，

518×312×146×684因为54.21＞10.828，所以H0不成立．

因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关．

(2)依题意，得如下列联表：

干净水

不干净水

总计

得病

5

9

14

不得病

50

22

72

总计

55

31

86

根据列联表中的数据得到K2的观测值为

86×(5×22－50×9)2k＝≈5.785.

55×31×14×72因为5.785＞5.024，

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关．

两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但第一问中是在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为结论正确，第二问中是在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为结论正确．