2.2.2 反证法教学设计及说课稿

§2.2.2反证法

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）了解反证法的自身特点，从中体会反证法的思考过程和内涵.（2）运用反证法解决数学问题.

2、过程与方法: （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会反证法的思想. （2）结合实例，让学生们归纳总结应用反证法解题的情形. 3、情感、态度与价值观：

培养学生的逆向思维，使思维发散，培养学生观察的能力、归纳总结的能力. 二、教学重点：

结合已经学过的数学案例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 三、教学难点：

运用反证法证明数学问题. 四、教学过程: （一）导入新课：

1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。

2、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。

3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？

学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．

（二）推进新课

1、反证法的特点：

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、例题讲解：

例1、在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知：直线L1,L2,L3在同一平面内,且L1∥L2,L3与L1相交于点P. 求证：l3与l2相交. 证明：假设_l3与l2 不相交,那么

l3∥l2

。

因为已知

l1∥l2, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行

所以

假设不成立

,即求证的命题正确. 例2、求证：不是有理数

分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， "的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．

证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,

因此，，

所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有

，即

所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．

注：正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例3、已知，求证：（且）

证明：假设不大于，即或.

∵a＞0，b＞0

∴由

又由

但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.

∴成立. （三）课堂练习：

课本P91页

练习1、2 （四）课堂小结：

1.反证法的概念：

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的一般步骤: (1)提出假设 (2)推理论证 (3)得出矛盾 (4)结论成立

3. 反证法的关键：

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等. （五）高考链接: 求证对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个

各项及公差都不为零的等差数列,b1,b2,…bn, 其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 布置作业：