小结公开课教案

独立重复试验与二项分布

考情分析：相互独立事件，n次独立重复试验，二项分布是高考的一个重要考点．相互独立事件因其重要性，成为高考常考内容之一

教学目标：①了解两个事件相互独立的概念，会求独立事件的概率．②理解二项分布X～B(n，p)的特点，会计算n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，并能解决一些简单的实际问题.

基础知识

1. 相互独立事件

(1) 对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立．

(2) 若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

(3) 若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(4) 若P(AB)＝P(A)P(B)，则A、B相互独立．

2. 二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生kkn－k次的概率是P(X＝k)＝Ck，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－p.于是得到随机变量X的npq概率分布如下：

X P －0 00nCnpq

1 11n1Cnpq

－…

…

k kknkCnpq

－－…

…

－n

nn0Cnpq

knk0n11n1knkn0由于Ck恰好是二项展开式(p＋q)n＝C0＋…＋Ck＋…＋Cnnpqnpq＋Cnpqnpqnpq中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，p)．

例题

1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(

a

) A．0.648

B．0.432

C．0.36

D．0.312 2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(

A

) A．0.8

B．0.75

C．0.6

D．0.45 3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则

21(1)P(A)＝________.

(2)P(B|A)＝__.______. 4π

4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量(kg)

概率

作物市场价格(元/kg)

概率

300

0.5

6

0.4

500 0.5 10 0.6 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于

2 000元的概率．

5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

3(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，54答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，5求X的分布列和数学期望．

2 36．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，42没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得03分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．

答案

4.解

(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为

6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，

所以X所有可能的取值为

500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000，

300×6－1 000＝800.

P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，

P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

所以X的分布列为

X P 4 000

0.3

2 000

0.5

800

0.2 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)，

由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，

P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，

3季的利润均不少于2 000元的概率为

P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；

3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 6.

解

(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知32P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝BCD＋BCD＋BCD，根据事件的独立性和互斥性43得P(A)＝P(BC

D＋B

C

D＋BCD)＝P(B CD)＋P(BCD)＋P(BCD) 223231－×1－＋1－××＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝×334341－2＋1－3×1－2×2＝7. 343336(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得

22311－×1－＝，

P(X＝0)＝P(BCD)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－)×3336422311－×1－＝，

P(X＝1)＝P(B

C

D)＝P(B)P(C)P(D)＝×433123221－××1－＋

P(X＝2)＝P(B

C

D＋B

C

D)＝P(BCD)＋P(BCD)＝433

1－3×1－2×2＝1，

4339P(X＝3)＝P(BCD＋B

CD)＝P(BCD)＋P(BCD) 23221321－＋×1－×＝，

＝××433433332211－××＝，

P(X＝4)＝P(BCD)＝43393221P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 4333故X的分布列为

X P 0

1

361

1

122

1

93

1

34

1

95

1

311111141所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 3612939312