小结教案教学设计导入整理

《排列与组合的综合应用（第一课时）》教学设计

泉州五中

黄寒凝

一、教学内容解析

1．教学内容解析

以计数问题为主要内容的排列与组合不仅有着许多直接应用，也是二项式定理、概率论的基础，更是组合数学的最初步知识，在整个高中数学中占有重要地位.排列与组合是中学数学教学中的难关，由于其内容的抽象性和思维的灵活性，使得学生在学习过程中往往觉得很困难，但恰恰因为这样的特点，使其成为高中阶段培养学生思维能力，提高学生推理论证、数学建模、数学抽象等核心素养不可多得的好素材.

教师在具体的教学中，要积极思考如何针对排列、组合的知识特点，在案例教学中渗透数学思想方法，使学生能够将排列与组合的知识活学活用到实际生活当中，更好地掌握解决排列与组合的基本思想、基本方法.

2．学生学情分析

本次授课对象是高二理科学生，知识方面学生已经学习了排列及排列数，组合与组合数的基本概念和基本运算，理解相关综合应用问题不会有太多障碍.但是本教学班学生整体的基础相对比较薄弱，在数学抽象化、模型化等方面的能力有待教师挖掘，因此教师在课堂上如何引导学生，提高学生分析问题、解决问题的能力，促进学生数学思想的形成，是本节课思考的重点. 3．教学目标设置

结合教材分析与学生的学情分析，本节课设定以下四个教学目标：

（1）进一步理解与区分排列与组合的概念，加深对两个基本原理的理解与运用； （2）掌握特优法、捆绑法、插空法、先选后排法等方法在排列与组合中的应用； （3）培养学生的探究意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，渗透分类讨论、化归与转化的数学思想方法；

（4）引导学生经历从实际问题到数学模型的抽象过程，培养学生推理论证、数学建模、数学抽象等核心素养.

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4．教学重、难点分析

教学重点：建立数学模型，理解并掌握解决排列与组合综合问题的几个基本方法.

教学难点：（1）合理的运用两个基本原理解题，形成解决排列与组合综合问题的基本策略；

（2）在案例教学中渗透分类讨论、化归与转化的数学思想方法.

5．教学策略分析

本节课从学生已有的认知作为出发点，以“情境创设”、“自主探究”、“精讲释疑”、“盘点提升”的教学方法，教师充分发挥引领作用，以问题驱动，让学生在已有知识和经验的基础上从模仿到主动构建数学模型，利用多媒体辅助教学等手段，促进学生深层次思考，以期突破教学的重、难点.

二、教学过程设计纲要

1.创设问题情境，引入课题

提问：图（1）（2）中分别有几个小长方形呢？

预设学生方法1：枚举；

预设学生方法2：分类计数. 【设计意图】从学生的认知水平出发设置低起点的问题情境，激发学生兴趣，调动学生学习新知识的积极性.

2.提出课题，复习回顾（使用多媒体，师生共同回顾）

（1）回顾分类计数原理、分步计数原理；

（2）回顾排列、排列数、组合、组合数的概念；

（3）学生辨析排列与组合的联系与区别：

排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素，两者的区别在于前者是“排成一排”，有顺序关系，后者是“并成一组”，无顺序关系.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此分析解决排列与组合问题的一个基本思想是“先组合后排列”.

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3. 问题驱动、探索新知

例题1．某数学学习小组有3个女生和5个男生．

（1）若8人排成一排，两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

变式：若8人排成一排，两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

问题（1）学生活动预设1：先排女生再排男生（特殊元素优先考虑）；

问题（1）学生活动预设2：先排两端再排其它位置（特殊位置优先考虑）. 变式学生活动预设1：分类讨论；

变式学生活动预设2：反面扣除. （2）若8人排成一排，其中男生甲不排左端，有多少种不同的排法？

变式：若8人排成一排，其中男生甲不排左端且男生乙不排右端，有多少种不同的排法？

变式学生活动预设1：分类讨论（引导学生注意分类标准的选择）；

变式学生活动预设2：反面扣除. 【设计意图】体现分类计数原理与分步计数原理的应用，引导学生掌握特优法（特殊位置、特殊元素优先考虑）的应用，辨析不同的数学模型，初步渗透分类讨论与正难则反的数学思想. （3）若8人排成一排，女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

变式：若8人排成一排，三个女生都不相邻，有多少种不同的排法？

学生错误预设：女生先排好，再把男生排进去. （4）若8人排成一排，其中男生甲与男生乙中间恰好间隔2人，有多少种不同的排法？

（5）若5个男生已经排好，在保持男生原来前后顺序不变的前提下把3个女生排进去，有多少种不同的排法？

学生错误预设：插空法. 【设计意图】引导学生掌握捆绑法、插空法的应用，强调捆绑法、插空法的易错点，渗透解决排列、组合问题的基本方法“先组合后排列”，即先选后排法，渗透化归与转化的数学思想，培养学生数学建模的思想方法. （6）若从8人中选4人参加数学竞赛，要求4人中有男有女，有多少种不同的选法？

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变式：从8人中选4人参加数学竞赛，男生甲与男生乙至少一个被选中，有多少种不同的的选法？

（7）若从8人中选4人分配到4所不同的学校听讲座，每校1人，其中甲不去A校，有多少种不同的分配方法？

【设计意图】引导学生掌握选排问题中的先选后排法，渗透分类讨论的数学思想方法. （8）若8个人已经排好队，且编号为1~8，现从中选出互不相邻的三个人，则有几种不同的选法？

【设计意图】引导学生进行等价转化，渗透化归与转化的数学思想，培养学生推理论证、数学建模、数学抽象等核心素养.

例题2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的：

（1）六位数？

（2）四位奇数？（变式：四位偶数？）

（3）各位数字之和为奇数的三位数？

（4）三位凸数（若一个三位数十位数字比各位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸”数）？

【设计意图】加强学生对特优法、捆绑法、插空法、先选后排法等方法的理解与应用，让学生主动形成解决排列与组合综合问题的基本策略；提升学生对分理分类、合情分步的计数思想的理解，培养学生探究精神、培养学生推理论证、数学建模、数学抽象等核心素养.

4.强化训练，巩固提升（以下问题都用数字作答）

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_____________．

2．3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________．

3．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．

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4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________．

5（备用）．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为________．

6（备用）．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是________．

5.归纳总结，思想提升

今天我们重点介绍了四种解决排列、组合常用方法：

①特殊限定条件特优法（特殊位置、特殊元素优先考虑）；

②相邻背景问题用捆绑法；

③不相邻背景问题用插空法；

④选排问题先选后排法.

当实际应用问题比较复杂，有多个制约条件共同作用使得题目难度增大，此时建立恰当的数学模型，并应用合理分类与分步、化归与转化、正难则反等数学思想方法对解题进行指导，往往能让我们解题豁然开朗.

6.首尾呼应、布置作业

最后我们回到开始的问题上：图中有几个小矩形呢？

引导学生建立组合数学模型，化归转化到排列组合问题上.

布置作业：课本：P40/ A组2、3、4、7，

P41/B组2、3、4.

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