1.3 二项式定理（通用）教学内容分析

二项式定理

时间：45分钟

分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分) x261．在2－的二项展开式中，x2的系数为(

) x15A．－4

3C．－8

15B.4

3D.8

x6－r2rr2r－6r3－r解析：Tr＋1＝Cr()·(－)＝(－1)2C6x，令3－r＝2，则62xr＝1，所以x的系数为(－1)×2答案：C 21－431×C6＝－，故选8C. 2．设函数x－16，x<0，xf(x)＝－x，x≥0，

则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(

) A．－20

B．20 C．－15

D．15 解析：

答案：A

1n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为3．使3x＋xx(

) A．4

C．6

解析：

B．5 D．7

答案：B 4．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(

) A．－4

B．－3 C．－2

D．－1 r解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为Cr5x(0≤r≤5，r∈Z)，22则含x2的项为C2C15x＋ax·5x＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 答案：D 5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(

) A．5

B．6 C．7

D．8 m解析：由题意可知，a＝Cm2m，b＝C2m＋1，

2m！2m＋1！又∵13a＝7b，∴13·＝7·，

m！m！m！m＋1！

132m＋1即7＝.解得m＝6.故选B. m＋1答案：B 6．设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

C．11

解析：∵52能被13整除，

2 012－∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为Tr＋1＝Cr2 01252rB．1 D．12 ·(－1)r. 故(52－1)2 012被13除余数为C2 012(－1)2 012＝1，则当a＝12时，2 012·512 012＋12被13整除．

答案：D 二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．在(x－a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a＝________. 373解析：T4＝C10x(－a)3，则C10(－a)3＝15，

1解得a＝－2. 1答案：－2

168．已知a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式(ax－)展开式中含x2xπ0项的系数是________．

2解析：由题意知，a＝(－cosx＋sinx)|π0＝2，则展开式中x的系数为C125·(－1)＝－192. 6·答案：－192 9．(3x＋2)100的展开式中，系数为有理项的共有________项．

3

解析：

答案：17 三、解答题(共计40分) 3310．(10分)已知在(x－)n的展开式中，第6项为常数项．

3x(1)求n；

(2)求含x2的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

解：(1)通项公式为

n－2k∴k＝5时有3＝0，即n＝10. n－2k1(2)令3＝2，得k＝2(n－6)＝2，

2∴所求的系数为C210(－3)＝405. (3)根据通项公式，由题意得

0≤k≤10k∈Z10－2k3∈Z

10－2k，令3＝R(R∈Z)，

3则10－2k＝3R，即k＝5－2R. ∵k∈Z，∴R应为偶数．

∴R可取2,0，－2，即k可取2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，

225588－2它们分别为C210(－3)x，C10(－3)，C10(－3)x. 2xx＋n11．(15分)已知3的展开式的前三项系数的和为129，x这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．

2rn－rrr解：∵Tr＋1＝Cr·＝C·2·n(xx)n3x22∴由题意C020＋C121＋Cn·2＝129. n·n·，r＝0,1,2，…，n，

结合组合数公式，有1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1＝129，

∴2n2＝128，n2＝64. ∴n＝8.

若展开式中存在常数项，

72则72－11r＝0，则r＝11∉N＋，

∴展开式中不存在常数项．

72－11r若展开式中存在一次项，则6＝1，

∴72－11r＝6.∴r＝6. ∴展开式中存在一次项，它是第7项，T7＝C626x＝C226x＝1 792x. 8·8·12．(15分)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 n＋11nn＋1＝C0＋Cn＋18＋…＋Cn＋1－8n－9 n＋18n＋11nn－120n＋1＝C08＋C8＋…＋C·8＋8(n＋1)＋1－8n－9＝C8＋＋＋＋n1n1n1n1

1nn－12＋Cn＋18＋…＋Cn＋18，

该式每一项都含因式82，故能被64整除．课时作业8

“杨辉三角”与二项式系数的性质