1.3 实习作业优秀教学设计内容

成都七中高2015级数学专题训练——递推数列与数列求和方法总结

命题人：江海兵 审题人：廖学军

模型一：anpan1q

p,q为常数 方法一：待定系数法（设anp(an1)）

方法二：等式左右两边同时乘以

例1：若a11，an2an11(n2)，则an ；

anan11q，把求通项变成数列求和问题。

pnpnpn1pn模型二：anpan1f(n) f(n)为n的指数式，多项式，p为常数

方法一：待定系数法（设ang(n)p[an1g(n1)]，其中g(n)的形式由f(n)决定）

方法二：等式左右两边同时乘以

例1：若a11，an2an13nn1(n2)，则an ；

例2：若a11，an2an12nn1(n2)，则an ；

练习

1：若a11，an2an1n(n2)，则an ；

2：若a11，an2an1n1(n2)，则an ；

3：若a11，an2an13n(n2)，则an ；

4：若a11，an2an13n1(n2)，则an ；

anan1f(n)1n1n，把求通项变成数列求和问题。

nnpppp模型三：线性递推数列 an2pan1qan p,q为常数

方法一：待定系数法（设an2an1(p)(an12qq，则构成等比数列）

an)，若pp方法二：特征根法

an2pan1qan的特征方程为xpxq0，若方程有两不同的实根，分别为x1,x2，则anAx1nBx2n,其中A,B为实数。

例1：若a11，a22an12an3an1(n2)，则an ；

例2：若a11，a21，an1anan1(n2)，则a20 ；

例3：若a11，a22an12an3an15(n2)，则an ；

模型四：an1f(n)an或an1anf(n) 方法：累加法、累乘法

例1、若an1n1a，a11，则an ；

nn例2、设数列an满足a12，an1an322n1求数列an的通项公式 ；

模型五：an1kanP p为常数 方法：处理“高次递推数列”——取对数

例1、若an1=3an6，a11，则an= ；

模型六：an1方法：

an1f(n)an,其中f(n),g(n)为n的一次式。

kang(n)f(n)anf(n)g(n)kanan1=f(n)ang(n)an1k-

kang(n)an1an其中f(n),g(n)为n的一次式

例1、an=3nan13，a1=，则an= ；

2an1n12kanh,其中k,h,p,q为常数

panq模型七（选学）不动点问题an1例1、an1=

例2、an1=

an6，a1=1，则an= ；

an4an33an1，a10，则a20= ；

数列求和方法总结

一、直接套用公式

1.等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na12.等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1q例1 已知log3x

例2.设Sn123

例3、数列1,12,124,

二．非等差、等比数列求和

类型一：分组求和

222例1 、

数列1,2,3,1，求xx2x3xn的前n项和. log23n,nN*，,求f(n)Sn的最大值. (n32)Sn1,1242n1,的前n项和. ,1n2，求其前2n1项的和. n

例2 、求数列的前n项和：11,

1114,27,,n13n2，…

aaa3，5，7例3、求1，

1214181，9的前n项和．

16

例4、求和1427310n3n1

类型二：倒序相加法

例1、

cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°= . 例2、

sin21sin22sin23sin288sin289= 例3、

设fx122x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f5f4f5f6的值为﹎﹎﹎﹎﹎. 例4、在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值 类型三：错位相减法

例1 已知数列an的前n项和Sn15913(1)n1·(4n3)．求S16= ．

n*，nN

3例2.设数列an满足a13a232a3…3n1an（Ⅰ）求数列an的通项；（Ⅱ）设bn

n，求数列bn的前n项和Sn

an例3．求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1

练习

1、试求，，，，的前n项和．

135724816

222、

数列{an}的通项ann(cosnnsin2)，其前n项和为Sn. 33(1) 求Sn; (2) bn

S3n,n求数列｛bn｝的前n项和Tn. n43、

数列an的前n项和Sn1357

1n12n1，求S15S22S31

4、设数列an满足a12，an1an322n1

（Ⅰ)求数列an的通项公式：（Ⅱ）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.

5、数列an的前n项和Snn(n1)2(n2)22则Sn的表达式为（

）．

22n22n1，（A）Sn2n12nn2（B）Sn2n1n2（C）Sn2nn2

（D）Sn2n1n2

类型四：裂项求和

例1. 求数列

例2.在数列an中，an

112,123,,1nn1,的前n项和. 12n2，又bn，求数列bn的前n项的和. n1n1n1anan1

例3. 求证：

总结：（1）anf(n1)f(n)；(如anlog2111cos1

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21n1,ann1n1n) （2）sin1tan(n1)tann；

cosncos(n1)1111111； an

n(n1)nn1nnkknnk（3）an(2n)2111（4）an1()

(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n212(n1)n1111

nn,则S1nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n（6）

an练习：

1、等差数列an中，a28,S666

（1）求数列an的通项公式；（2）设bn

2、求数列1,

2,Tbbn1ann12bn，求Tn

11,,12123,1的前n项和. 12n

1493、

求和：Sn133557

4、已知数列an，an

5、设数列n2

2n12n11nnN，数列a的前n项和Sn1*nn9，求n的值. *（1）证明：若数列a是等差数列，则对任意nN，都有

an中的每一项都不为0，n111a1a2a2a3a3a4*1n

anan1a1an1（2）证明：对任意nN，都有

111a1a2a2a3a3a41n，则an是等差数列。

anan1a1an1

4、已知点（1，）是函数f(x)ax(a0,且a1）的图象上一点，等比数列{an}前n项和为f(n)c,数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1（1）求数列{an}，（2）若数列{{bn}通项公式；

类型四:有关周期数列求和方法

方法：代值找规律

例1 数列{an}：a1

类型五：其它类型

例1、

求2,22,222,

的前n项的和

13SnSn1（n2）. 10001}前n项和为Tn，Tn>最小正整数n是多少?

. 2009bnbn11,a23,an2an1an，求S2013.