3.1.2 复数的几何意义ppt课件课堂实录

复数的几何意义

一、教学过程：

一、复数z、复平面内的点Z、平面向量OZ之间的关系

1.问题情景：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。实数(数)数轴上的点(形) 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？

复数的一般形式？zabi(a,bR)。一个复数由什么确定？实部a和虚部b

根据复数相等的定义可知，任何一个复数zabi(a,bR)都可以由一个有序数对(a,b)惟一确定，而有序数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此，可以用直角坐标系中的点Z(a,b)来表示复数zabi(a,bR)

2.复平面：

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

3.复数的向量表示：

因为复平面内的点Z(a,b)与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应

（实数0与零向量对应），所以复数zabi也可以用向量OZ来表示。

综上讨论，复数zabi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系可用下图表示：

为方便起见，常把复数zabi说成点Z或向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数。

二、复数模的概念

向量OZ的模叫做复数zabi的模（或绝对值），记作|z|或|abi|。如果b0，那么zabi就是实数a，它的模等于|a|（即实数a的绝对值）。

由模的定义可知|z||abi|

三、数学运用

例1.（1）在复平面内分别用点表示下列复数0，-2，i，12i及其共轭复数。

一一对应a2b2

思考：z,z与|z|之间有什么关系？|z||z|，|z|2|z|2zz

1

（2）下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

（3）复数z与z所对应的点在复平面内 ( ) (A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称 (C)关于原点对称 (D)关于直线yx对称

小结：实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

例2.已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，

求实数m的取值范围。

变式一：已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内所对应的点在直线x2y40上，求实数m的值。

例3.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数，并求出它们的模。

4，2i，i，13i，32i

例4.已知复数z134i，z215i，试比较他们模的大小。

练习：求下列复数的模：

2

(1)z5i；(2)z34i；(3)z55i；(4)z1mi(mR)；(5)z4a3ai(a0)

思考：

(1)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？

(2)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

例5.设zC，满足2|z|3的点Z的集合是什么图形？

思考：设zC，满足|z1|5的点Z的集合是什么图形？

作业：

班级

姓名

学号

1.已知复数4,5i,14i,22i,3i2

（1）在复平面内画出表示这些复数的向量；

（2）写出这些复数共轭复数，并求它们的模。

2.已知复数z(m2)(m9)i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围。

3 2

3.已知z(|z|1)5i，求复数z。

4.已知在复平面内，定点M与复数m12i对应，动点Z与复数zxyi对应，那么满足

不等式|zm|2的点Z的集合是什么图形？

5.设zabi和复平面内的点Z(a,b)对应，当a,b满足什么条件时，点Z位于

（1）实轴上？（2）虚轴上（原点除外）？（3）实轴的上方？（4）虚轴的左侧？

6.已知复数65i和34i

（1）在复平面上作出与这两个复数对应的向量OA和OB；

（2）写出向量AB,BA表示的复数.

4