3.1.2 复数的几何意义教案1

3.1.2复数的几何意义

教学任务分析：

（1）复数是由实部和虚部两部分构成，也就是说复数实际上是有一有序实数对，从而就得到了复数的几何表示，不仅使抽象的复数有了直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合. （2）复数系是在是在实数系的基础上扩充而得到的，在学习复数时应多加强与实数的联系，应用类比思想，得到复数的有关性质. 教学重点：

（1）

用复平面内的点表示复数；

（2）

用平面向量表示复数. 教学难点：灵活运用复数的几何意义解决一些简单问题.

教学过程

一、复习引入

实数的几何意义

在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示.

实数一一对应数轴上的点

(数)(形)类比实数的表示，可以用什么来表示复数？

复数的一般形式

z=a+bi(a, b∈R) 实部：a

虚部：bi

一个复数由什么唯一确定? 二、新课讲授

复数的几何意义：

有序实数对(a,b)

复数z=a+bi一一对应直角坐标系中的点Z(a,b)

（数）（形）建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复数平面(简称复平面) x轴——实轴

y轴——虚轴

例1.(1)下列命题中的假命题是(

D

) A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上

B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上

C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数

D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

例1.(2)“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的(

A

) A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.不充分不必要条件

ybZ：a＋biOax

例1.(3)“a=0”是“复数a+bi (a, b∈R)所对应的点在虚轴上”的(

C

) A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.不充分不必要条件

练***面内，描出下列各复数的点：

(1)2＋5i;(2)－3＋2i;(3)2－4i;(4) －3－i;(5)5;(6) －3i．

例2.已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实

数m允许的取值范围.

m2m603m2m(3,2)(1,2).

解：由2得mm20m2或m1

表示复数的点所转化复数的实部与虚部所满

在象限的问题足的不等式组的问题

(几何问题)(代数问题)

一种重要的数学思想：数形结合思想.

变式一.已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点在直线x－2y＋4＝0上，求实数m的值. 解：∵复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点是

(m2＋m－6，

m2＋m－2)，

∴(m2＋m－6)－2(m2＋m－2)＋4＝0，

∴m＝1或m＝－2.

变式二.证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限. 证明：若复数所对应的点位于第四象限，

m2m60m3或m2则2

即mm202m1不等式解集为空集. 所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

直角坐标系中一一对应复数z=a+bi的点Z(a,b)

一一对应

一一对应

平面向量OZ

复数的绝对值(复数的模)的几何意义: yZ：a＋bibxaO对应平面向量

OZ

的模

OZ，即复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. zOZa2b2

3练习. 已知复数

2i

, 24i, 2i, 4, 4i，在复平面内画出这些复数

2对应的向量.例3.求下列复数的模：

(1)z1＝－5i;

(2)z2＝－3＋4i;

(3)z3＝5－5i;

(4)z4＝1＋mi(m∈R); (5)z5＝4a－3ai(a＜0). 思考: (1)满足|z|＝5(z∈R)的z值有几个？

(2)满足|z|＝5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

y5设z＝x＋yi(x,y∈R) |z|x2y25

课堂小结

复数z=a+bi一一对应直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应一一对应

平面向量OZ复数还有哪些特征能和平面向量类比?

课后作业

《学案》与《习案》. –55Ox–5