3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学内容

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.2 复数代数形式的四则运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

【教学目标】

1.知识与能力

掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．

2.过程与方法

运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．

3.情感态度与价值观

通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．

【重点.难点】

重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算

难点：复数除法的运算法则．

【教学用具】多媒体. 【课时】1教时

〖教学过程〗

一、知识回顾：

①复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

②复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. ③复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. ④复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 以上可以得出：复数的加减法法则及运算律和多项式的加减法比较类似，那么复数的乘除和多项式的乘除又是如何呢？

二、新课讲授

【规定】复数的乘法法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：

2

(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2【明确】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．

【探究】复数的乘法是否满足交换律①、结合律②以及乘法对加法的分配律③？

【解答】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ① z1z2=z2z1. 证明：∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. ② (z1z2)z3=z1(z2z3). 证明：∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)

=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). ③z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 【例２】计算(1－2i)(3＋4i)(-2＋i)．

2【解】(1－2i)(3＋4i) (-2＋i)＝(3＋4i－6i－8i) (-2＋i) ＝(11－2i) (-2＋i)＝(-22+2)＋(11+4)i＝-20+15i. 【总结】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.

2【例３】计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

【分析】本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式（与实数系中乘法公式相对应的公式）计算．

22【解】（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; 22（2）（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. 【总结】这两个式子可以和多项式中的平方差公式、完全平方公式作类比，在以后的计算中直接用，简化运算过程，而且不必记忆公式．

【问题】在例3中3-4i与3+4i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？

【思考】学生独立思考. 【总结】实部和实部相等，虚部和虚部互为相反数．

【定义】共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．

【明确】z的共轭复数常用z表示．即：若z＝a＋bi，则z＝a－bi.

【思考】若z1,z2是共轭复数，那么

（1）在复平面内，它们所对应的点有什么样的位置关系？

（2）z1·z2是怎样的一个数？

【解答】（1）设z1=a+bi, z2=a-bi ( a、bR) z1, z2在复平面内对应的点分别为( a，b)，( a，-b)

∴( a，b)与( a，-b)关于x轴对称

22222（2）z1•z2=（

a+bi）（•a-bi ）=a－bi=a＋b

∴z1•z2是实数．

【总结】共轭复数的性质：设z=a+bi, ( a、bR)

a2b2 ②

zz ③zz2a ④zz2bi

①zz

【复数除法法则】类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探究复数除法的法则．

【规定】复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di) 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.x2,解这个方程组，得cd2

ybcad.c2d2acbd于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad

i. (c+d i≠0) c2d2c2d2【思考】在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？

【引导】可以类比根式的除法，从而得到简便的操作方法．

a＋bi【解答】(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分c＋di子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简整理后即可．

(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．

【例４】计算(1＋2i)÷(3－4i)．

1＋2i【分析】先把(1＋2i)÷(3－4i)写成的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i，计算整3－4i理即可．

【解】 (1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i12i34i＝

3－4i34i34i＝

3－8＋6i＋4i－5＋10i12＝＝－＋i. 223＋42555〖课时小结〗

【课后小结】

⑴复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.

bdbcad（c+di≠0）⑵复数的除法法则是：abiac．

2i222cdicdcd两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简．

1．(2015年高考全国卷1)

已知复数z＝1－2i，

1那么

= z2 (2013年全国卷1) 已知（1+2i） =4+3i，

则z=

【板书设计】

略

【课后作业】

家庭作业 232018 1.计算：i＋i＋i＋…＋i. 2.完成相应的配套练习 正式作业

课本P60，练习 3 课本P61，A组4，5